Número de soluciones reales.

Question

Pregunta: Que $\{a_i\}$ ser una secuencia de números reales tales que $0<a_1<a_2\cdots <a_n$. Demostrar que la ecuación: $$\frac{a_1}{a_1−x}+\cdots+\frac{a_n}{a_n−x}=2015$ $ tiene exactamente $n$ soluciones reales.

Mi intento:

Sé que esto es un polinomio de grado n. Pero realmente no tengo idea cómo mostrar la necesaria.

Answer 1

Pista: la LHS es continua en cada intervalo de $(a_i,a_{i+1})$. Tenga en cuenta que un % bastante pequeño $\varepsilon$, $\dfrac{a_i}{a_i-x} \ll 0$ % un $x\in (a_i,a_i+\varepsilon)$y $\dfrac{a_{i+1}}{a_{i+1}-x} \gg 0$ un $x\in (a_{i+1}-\varepsilon,a_{i+1})$.

Hint2: El hecho de que la RHS es distinto de cero y el hecho de que el lado izquierdo se obtiene cerca de $0$ $x \ll a_1$ o $x\gg a_n$ debe producir la última solución real.

Answer 2

Vemos que la ecuación original es igual a

$$2015\prod_{i=1}^n(a_i-x)$$

Ahora definir

$$P(x)=\left(\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{a_k-x}\prod_{i=1}^n(a_i-x)\right)-2015\prod_{i=1}^n(a_i-x)$$

Tenemos que mostrar que $P$ tiene exactamente $n$ bienes raíces. Podemos calcular $P(a_l)$ a ver que

$$P(a_l)=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{a_k-a_l}\prod_{i=1}^n(a_i-a_l)$$

que es

$$P(a_l)=a_l\prod_{1\leq i\leq n, i\neq l}(a_i-a_l)$$

(tenga en cuenta que $P(a_l)\neq 0$. Esto es importante, porque si $a_l$ habría sido una raíz, no habría sido una solución a la ecuación original). Desde $a_i<a_l$ fib $i<l$, sabemos que todos los términos de $(a_i-a_l)$ $i<l$ son negativos, y todos los demás factores son positivos (también la $a_l$), de modo que el signo de esto es $(-1)^{l-1}$. Esto significa $P$ se balancea arriba y abajo, cruzando el eje x entre todos los $a_i$$a_{i+1}$. Esto nos da $n-1$ raíces (uno entre $a_1$ $a_2$ entre $a_2$$a_3$, ..., uno entre el$a_{n-1}$$a_n$). Pero, ¿dónde está el último de la raíz? No se preocupe! Si tenemos un complejo de raíz de $\alpha$, $\bar{\alpha}$ también es un (diferentes y complejas) de la raíz (esto sólo vale si $P$ tiene coeficientes reales, pero no, así estamos bien). Esto significa que, si tenemos $n-1$ raíces reales de un polinomio de grado $n$, entonces no podemos tener la última raíz compleja, debido a que el complejo de raíces vienen en pares.