Básicamente mi pregunta es si el matemático típico consideraría importante recordar trucos puramente computacionales como la "sustitución trigonométrica", que sólo ayudan a resolver integrales oscuras que no parecen tener nunca interés en la matemática pura. Definitivamente puedo entender cosas como la integración por partes o incluso fracciones parciales, pero tomé Calc II el semestre pasado y ya he olvidado la mayor parte del material. ¿Puede el típico matemático sacarse cosas así de la manga o hay que enseñar a recordar cosas así?
Respuestas
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Stella Biderman
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Hablando de trucos computacionales de forma más general que las integrales, depende mucho del campo de las matemáticas. Algunos tienen un montón de cosas que resultan ser fundamentales y que, para una persona ajena, parecen trucos computacionales más que teoremas profundos, o incluso sólo herramientas muy útiles. La mayoría de los campos tienen algo . Sólo por nombrar algunos ejemplos:
Calcular rápidamente fracciones continuas y aproximaciones racionales es una habilidad muy útil si se trabaja en el subcampo adecuado de la teoría de números, pero es una curiosidad para la mayoría de los matemáticos.
Si estudias campos relacionados con el Análisis Complejo, especialmente desde un punto de vista punto de vista más geométrico, desarrollarás una enorme habilidad para evaluar integrales extravagantes utilizando contornos inteligentes.
Si eres un combinador, puede que pases mucho tiempo calculando los valores de las sumas que requieren trucos arcanos y sustituciones sustituciones.
Como se ha mencionado en los comentarios, las sustituciones trigonométricas son secretamente súper importantes, especialmente cosas como $\tan(t/2)$ .
¿Y qué pasa con su situación? En primer lugar, la integración por partes es un teorema excepcionalmente importante en general. Personalmente, creo que en la escuela le dan a la gente la fórmula equivocada y que debería escribirse como
$$\int u\,dv +\int v\,du =uv\quad \text{a.k.a.}\quad u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}(uv)$$
porque una vez que me di cuenta de que la integración por partes y la regla del producto eran la misma cosa, recordar la fórmula y también averiguar cómo hacerlo en casos concretos fue mucho mejor. La mayoría de los matemáticos no tienen una lista completa de fórmulas memorizadas, sino que saben cómo derivarlas porque entienden las cosas que se esconden detrás de la cortina. Así que aprende eso. Aprender a pensar en los problemas y los trucos particulares estarán a cinco minutos de papel rayado siempre que los necesites.
Paquarian
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Esto es más bien una cuestión de preferencias. Conozco a matemáticos que recuerdan muchos "trucos", pero también conozco a matemáticos a los que no les importa tanto memorizar "trucos". Por tanto, la respuesta a tu pregunta dependerá en gran medida de las preferencias personales.
En mi opinión, recordar trucos básicos y útiles resulta muy útil. Sin embargo, a veces es difícil determinar al principio qué es útil y qué no. Además, por supuesto, es imposible recordar todos los posibles "trucos" con los que te encuentras.
Si yo fuera tú, no me preocuparía tanto por recordar los trucos. Intenta entenderlos primero. Si entiendes el concepto, volver a aprender el truco será mucho más fácil. Además, hay muchas posibilidades de que entender el concepto te ayude a recordar automáticamente los "trucos".
goe
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Los trucos a los que te refieres son básicamente los resultados de casos especiales de teoremas y principios standerd.
Por ejemplo, Teorema de Stewart da es la longitud de cualquier cevián en un triángulo en términos de lado de ese triángulo. Como consecuencia obtenemos la longitud de la bisectriz del ángulo, la mediana del triángulo y la gente los memoriza como trucos. La belleza reside en el teorema y no en sus casos especiales.
También recuerdo que cuando era una clase $8$ estudiante, me enseñaron el teorema del punto medio, que en aquel momento me resultaba bastante fascinante. Pero después de entrar en clase $9$ Me he enterado de que Teorema básico de la proporcionalidad y descubro que no es necesario recordar qué es el teorema del punto medio porque sé de dónde viene.
Al final, le recomiendo que lea este artículo ya que esto me fue útil cuando estuve en tu situación.
