Signo del determinante cuando se utiliza $det A^\top A$

Question

Nos han dado la matriz: $$A = \begin{pmatrix} a& b& c &d \\ b &−a& d& −c\\ c& −d &−a& b \\ d &c& −b& −a\\ \end{pmatrix} $$
...y se les ha pedido que calculen $\det(A)$ utilizando $AA^T$ .

Ya lo vemos:

$$AA^T=\begin{pmatrix} a^2+ b^2+ c^2+ d^2& 0& 0&0\\ 0 &a^2+ b^2+ c^2+ d^2& 0& 0\\ 0& 0 &a^2+ b^2+ c^2+ d^2& b \\ 0 &0& 0& a^2+ b^2+ c^2+ d^2\\ \end{pmatrix} $$

Así que, $\det(AA^T)= (a^2+ b^2+ c^2+ d^2)^4$

Ahora, ¿cuál debería elegir? $(a^2+ b^2+ c^2+ d^2)^2 $ o $ -(a^2+ b^2+ c^2+ d^2)^2$ ?

Por favor, explíqueme cuál y por qué.

Answer 1

Puede que esto sea una exageración, pero no deja de ser una observación útil. Usted tiene una matriz $A = A(a,b,c,d)$ que depende de cuatro parámetros reales y calculaste $\det(A)^2$ . De su cálculo se desprende que $\det(A) = 0$ si $a = b = c = d = 0$ . Establecer $U = \mathbb{R}^4 \setminus \{ (0,0,0,0) \}$ . Si $(a,b,c,d) \in U$ entonces $\det(A) \neq 0$ por lo que $\det(A) > 0$ o $\det(A) < 0$ . Sin embargo, el conjunto $U$ está conectada y la función $U \rightarrow \mathbb{R}$ dado por $(a,b,c,d) \mapsto \det(A(a,b,c,d))$ es continua por lo que debemos tener $\det(A) > 0$ para todos $(a,b,c,d) \in U$ o $\det(A) < 0$ para todos $(a,b,c,d) \in U$ y podemos comprobarlo introduciendo valores específicos para $a,b,c,d$ . Por ejemplo, cuando $b = c = d = 0$ tenemos

$$ \det(A) = a(-a)^3 = -a^4 $$

así que $\det(A) < 0$ si $a \neq 0$ y por lo tanto

$$ \det(A(a,b,c,d)) = -(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^2 $$

para todos $(a,b,c,d) \in U$ .