Resolver

Question

Encontrar todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que cumplan:

$f (x + y) + f (y + z) + f (z + x) ≥ 3f (x + 2y + 3z)$

% real $x,y,z$.

Intento de solución:

He intentado conectar en $x = -y$ y $x = -z$. Esto parece no ser conseguirme en cualquier lugar.

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Cualquier función constante se reuniría la condición.

Si enchufa en $x = a$, $y = 0$, $z = 0$, obtenemos $f (a) + f (0) + f (a) \geqslant 3f (a)$, lo que implica que el $f(0)\geqslant f (a)$.

Enchufar en $x = a/2$, nos da $y = a/2$, $z = −a/2$ $f (a) + f (0) + f (0) \geqslant 3f (0)$, lo que implica que el $f(a)\geqslant f (0)$.

Por lo tanto, $f (a) = f (0)$ % real todo $a$, que $f$ debe ser constante.