"¿Qué respuesta de esta lista es la correcta para esta pregunta?"

Question

Recibí esta pregunta de mi profesor de matemáticas como una prueba de lógica en el tiempo libre, y aunque pensé que la había contestado bien, él negó. ¿Puede alguien explicar el razonamiento de la solución correcta?

¿Qué respuesta de esta lista es la correcta para este ¿pregunta?

1. Todo lo anterior.
2. Ninguna de las anteriores.
3. Todo lo anterior.
4. Una de las anteriores.
5. Ninguna de las anteriores.
6. Ninguna de las anteriores.

Pensé:

• $2$ y $3$ se contradicen así $1$ no puede ser cierto.
• $2$ niega $3$ pero $3$ afirma $2,$ así que $3$ no puede ser cierto
• $2$ niega $4,$ pero como $1$ y $3$ se ha demostrado que son falsas, $4$ no puede ser cierto.
• $6$ niega $5$ pero no a la inversa, por lo que $5$ no puede ser cierto.

en este punto sólo $2$ y $6$ se dejan de considerar. He pensado en elegir $2$ no negaría $1$ (y no puede ser todo lo que se indica a continuación y ninguna de las siguientes ) por lo que pensé que la respuesta es $6.$

No sé la respuesta correcta a la pregunta. Gracias.

Answer 1

// gcc ImpredictivePropositionalLogic1.c -o ImpredictivePropositionalLogic1.exe -std=c99 -Wall -O3

/*
Which answer in this list is the correct answer to this question?

(a) All of the below.
(b) None of the below.
(c) All of the above.
(d) One of the above.
(e) None of the above.
(f) None of the above.
*/

#include <stdio.h>
#define iff(x, y) ((x)==(y))

int main() {
  printf("a b c d e f\n");
  for (int a = 0; a <= 1; a++)
  for (int b = 0; b <= 1; b++)
  for (int c = 0; c <= 1; c++)
  for (int d = 0; d <= 1; d++)
  for (int e = 0; e <= 1; e++)
  for (int f = 0; f <= 1; f++) {
    int Ra = iff(a, b && c && d && e && f);
    int Rb = iff(b, !c && !d && !e && !f);
    int Rc = iff(c, a && b);
    int Rd = iff(d, (a && !b && !c) || (!a && b && !c) || (!a && !b && c));
    int Re = iff(e, !a && !b && !c && !d);
    int Rf = iff(f, !a && !b && !c && !d && !e);

    int R = Ra && Rb && Rc && Rd && Re && Rf;
    if (R) printf("%d %d %d %d %d %d\n", a, b, c, d, e, f);
  }
  return 0;
}

Estas salidas:

a b c d e f
0 0 0 0 1 0

El punto principal que me gustaría transmitir es que no puede Supongamos de entrada que sólo hay una asignación satisfactoria. Por ejemplo, considere la pregunta:

Which of the following is true?
    (a) both of these
    (b) both of these

Podrías tener la tentación de decir que tanto (a) como (b) son ciertas. Pero también es coherente que tanto (a) como (b) sean falsas. La tendencia a asumir la singularidad de las definiciones no es correcta cuando las definiciones son impredicables.

Answer 2

"El 6 niega al 5 pero no al revés, por lo que el 5 no puede ser cierto". Esta es la afirmación incorrecta. Tienes razón en que 5 no niega a 6, pero tampoco afirma a 6, por lo que esto no descarta a 5. Más bien, si 6 se sostiene, entonces 5 se sostiene a fortiori, pero esto es una contradicción ya que 6 niega a 5. Por lo tanto, el 6 queda descartado y el 5 es la única respuesta posible.

Edición: ¡Nótese que este enfoque no supone que sólo una respuesta sea correcta! Más arriba sostengo que la 6 no puede ser cierta. El PO argumenta claramente que 1, 3 y 4 no pueden ser verdaderas. Yo podría revisar la discusión del PO sobre la 2 de la siguiente manera: si la 2 es cierta, entonces la 4 es falsa. Si tomamos 4 como "al menos uno de los anteriores", esto ya es una contradicción. Si tomamos el 4 como "exactamente uno de los anteriores", entonces como el 3 es falso (por el 2), el 1 debe ser verdadero, también una contradicción. Así que hemos demostrado por separado que 1, 2, 3, 4 y 6 producen contradicciones. Por tanto, a posteriori hay como mucho una respuesta correcta, aunque nunca se haya supuesto. De hecho, hay exactamente una, ya que si 5 fuera falsa, al menos una de las afirmaciones contradictorias anteriores se mantendría.

Answer 3

No soy lógico ni matemático. Esta es mi opinión de lego en la materia:

a. Si 1 es verdadero, 2 es verdadero, pero 2 contradice el resto de 1. Así que 1 es autocontradictorio, por lo que 1 está fuera. 2 sigue estando dentro.

b. 3 no puede ser cierto porque sabemos que 1 está fuera. Por lo tanto, 3 está fuera.

c. si 2 es verdadero, 4 es falso, pero 4 de hecho apoya que 2 sea verdadero, porque con 1 y 3 fuera, el "uno de los anteriores" debe ser 2. 2 es 2 es, por tanto, autocontradictorio. Así que 2 está fuera.

d. Habiendo establecido que 1, 2 y 3 están fuera, 4 no puede ser cierto. Por lo tanto, el 4 está fuera.

e. Que el 5 sea cierto apoya el hecho de que el 1,2,3 y el 4 estén fuera. Es no se compromete con 6, permitiendo que 6 sea falso, lo que a su vez permite que 5 sea verdadero. Por tanto, 5 sigue estando dentro.

f. si el 6 es verdadero, el 5 debe ser falso, lo que significa que al menos uno de los 1,2,3,4 son verdaderas, lo cual sabemos que es imposible. Por lo tanto, el 6 está descartado.

Dejando 5.

Answer 4

Se puede utilizar la lógica proposicional para formalizar el problema, luego las asignaciones satisfactorias ayudan a encontrar las soluciones.

Dejemos que $a,b,c,d,e,f$ representan las seis frases, respectivamente.

1. $a\leftrightarrow b\land c\land d\land e\land f$
2. $b\leftrightarrow \neg c\land \neg d\land \neg e\land \neg f$
3. $c\leftrightarrow a\land b$
4. $d\leftrightarrow (a\land \neg b\land \neg c)\lor(\neg a\land b\land \neg c)\lor (\neg a\land \neg b\land c)$
5. $e\leftrightarrow \neg a\land \neg b\land \neg c\land \neg d$
6. $f\leftrightarrow \neg a\land \neg b\land \neg c\land \neg d\land \neg e$

Suponiendo que haya al menos una solución: 7. $a\lor b\lor c \lor d\lor e\lor f$

La única asignación de verdad satisfactoria es la que establece $a,b,c,d,f$ a falso y establecer $e$ verdadero. Así que la opción 5 es la solución.

Answer 5

En primer lugar, supongamos que sólo hay una respuesta correcta, como quizás implica la pregunta. $1,3,4,$ si son verdaderas, implican más de una respuesta correcta, por lo que no pueden ser verdaderas. Si $2$ es verdadera y $1,3$ no son entonces $4$ es cierto. Así que $2$ debe ser falso. Si $6$ es verdadera, entonces $1,2,3,4$ son falsas y $5$ es verdadera, contradiciendo $6$ . Así que $5$ es la única posibilidad.

Ahora asume la temporada abierta, y más de uno podría ser cierto.

Si $1$ es verdadero, entonces $2$ es cierto, pero eso es imposible para $3$ . Así que $1$ es falso. Si $2$ es verdadera y $1$ falso, $3$ es falso y $4$ es cierto, pero eso contradice $2$ . $3$ y $4$ son entonces falsas porque todo lo que está por encima de ellas es falso. El mismo argumento sobre $5$ y $6$ se aplica como antes. Así que $5$ es cierto.