Teoremas sencillos que son ejemplos de matemáticas profundas

Question

Así que.., este pregunta sobre la utilidad de los trucos computacionales para la investigación matemática, y la respuesta de varias personas fue "bueno, los trucos computacionales son a menudo teoremas superguays disfrazados". Entonces, ¿qué "trucos computacionales" o "teoremas fáciles" o "patrones divertidos" resultan ser teoremas importantes?

La respuesta ideal a esta pregunta sería un tema que pudiera entenderse a dos niveles diferentes con un gran abismo de sofisticación entre ellos, aunque el ejemplo simplista no tiene por qué ser "trivial".

Por ejemplo, el teorema de la factorización del primo único se suele demostrar a partir del algoritmo de la división mediante el lema de Bezout y el hecho de que $p\mid ab\implies p\mid a$ o $p\mid b$ . Una prueba prácticamente idéntica permite establecer que todo dominio euclidiano es un dominio de factorización único, y el problema en su conjunto -una vez abstraído adecuadamente- da lugar a la noción de ideales y a una cantidad significativa de teoría de anillos.

Por poner otro ejemplo, es bien sabido que los espacios vectoriales de dimensión finita están determinados unívocamente por su campo base y su dimensión. Sin embargo, un teorema mucho más general de la Teoría de Modelos básicamente te permite decir "dado un conjunto de objetos que tienen un parámetro similar a la dimensión que están situados de la manera correcta, cada objeto con "dimensión" finita está determinado de manera única por su ejemplo mínimo y la "dimensión"." En realidad no recuerdo bien el enunciado preciso de este teorema, así que si alguien quiere explicar en detalle cómo los espacios vectoriales son un ejemplo particular de $k$ -teorías categóricas para cada finito $k$ sería genial.

De los comentarios: En cierto sentido me interesa la pregunta inversa como este Post de Math Overflow. En lugar de interesarme por las matemáticas profundas que producen pruebas terriblemente complicadas de ideas sencillas, quiero ideas sencillas que contengan, o generalicen, matemáticas de una profundidad asombrosa.

Answer 1

En la escuela nos enseñan que

$$\int\frac 1x\;\mathrm dx=\log\left|x\right|+C$$

Pero como señala Tom Leinster es una solución incompleta. La función $x\mapsto 1/x$ tiene más antiderivadas que sólo las de la forma anterior. Esto se debe a que la constante $C$ puede ser diferente en las partes positiva y negativa del eje. Así que en realidad deberíamos escribir:

$$\int\frac 1x\;\mathrm dx=\log\left|x\right|+C\cdot1_{x>0}+D\cdot1_{x<0}$$

donde $1_{x>0}$ y $1_{x<0}$ son las funciones indicadoras de los reales positivos y negativos.

Esto significa que el espacio de antiderivadas de la función $x\mapsto 1/x$ es bidimensional. Realmente lo que hemos hecho es calcular la zeroth cohomología de Rham del colector $\mathbb R-\{0\}$ (el dominio en el que $x\mapsto 1/x$ ). El hecho de que $\mathrm{H}^0_{\mathrm{dR}}\!\!\left(\mathbb R-\{0\}\right)=\mathbb R^2$ resulta del hecho de que $\mathbb R-\{0\}$ tiene dos componentes.

Answer 2

No estoy seguro de que esta respuesta se ajuste realmente a la pregunta. Pero la simpática pregunta me ha impulsado a escribir algunas ideas que he estado meditando durante un tiempo.

Creo que la simple ley distributiva es esencialmente matemática profunda que se plantea en los primeros años de la escuela.

Estos días paso el tiempo en aulas de K-3. Me llama la atención la frecuencia con que la comprensión de un problema de un niño depende de mostrar cómo se aplica la ley distributiva. Por ejemplo, para explicar $20+30=50$ (a veces necesario) - se empieza con "2 manzanas + 3 manzanas = 5 manzanas" y luego $$ 20 + 30 = 2 \text{ tens} + 3 \text{ tens} = (2+3)\text{ tens} = 5 \text{ tens} = 50. $$ Así pues, la ley distributiva está detrás de la notación posicional y de la idea de que "no se pueden sumar manzanas con naranjas" (a menos que se generalice a las "frutas"). Incluso se habla un poco de etimología: "cincuenta" fue literalmente "cinco decenas".

Euclides se basa en la ley distributiva cuando calcula productos como áreas, como en Libro II Proposición 5 ilustrado con

La ley distributiva está detrás de muchos ejercicios de álgebra de primaria de multiplicación y factorización. Si fuera más explícita creo que los niños entenderían FOIL tan bien como memorizar la regla.

Más adelante te gustaría que dejaran de pensar que todo se distribuye, lo que lleva a errores de álgebra con raíces cuadradas (y cuadrados), logaritmos (y potencias).

Todo esto antes de estudiar transformaciones lineales, álgebra abstracta, anillos y estructuras anulares, donde se exploran las consecuencias cuando falla la distributividad.

Answer 3

Quitemos de en medio el ejemplo más obvio: casi todos los teoremas de representación son sombras del lema de Yoneda. En particular, todos los hechos siguientes, algunos de los cuales son elementales, se deducen del lema (enriquecido) de Yoneda.

• Que todo grupo es isomorfo a un subgrupo de un grupo de permutaciones. ( Teorema de Cayley )
• Que todo conjunto parcialmente ordenado se incrusta en algún conjunto potencia ordenado por inclusión.
• Que cada gráfico es el gráfico de intersección de algunos conjuntos.
• Que todo anillo tiene un módulo fiel.
• Que para cada proposición o valor de verdad $p$ tenemos $p\Rightarrow \top$ .

Answer 4

La aritmética escolar es un caso particular de la cohomología. Referencia: Un punto de vista cohomológico sobre la aritmética escolar elemental por Daniel C. Isaksen.

Answer 5

Todo el mundo lo sabe: hay números pares y números Impares. Y hay reglas cuando se hace aritmética con ellos: Par más par es par, e impar más impar. Par más impar da impar. Además, impar por impar es impar, par por impar es par, igual que par por par.

Por supuesto, cuando se dice esto en la escuela, se considera una abreviatura de "un número par más un número par es un número par", etc. Pero esas formulaciones tienen sentido por sí solas, y no son más que un caso especial de una estructura más general, los anillos de enteros módulo $n$ que incluso es un campo si $n$ es primo. Par/impar sólo son los enteros módulo $2$ (y como $2$ es primo, par e impar forman realmente un campo). El conjunto de los números pares y el conjunto de los números Impares son las clases de congruencia módulo $2$ .

Pero hay más: El concepto se generaliza de los números a anillos más generales. Por ejemplo, se generaliza a los polinomios. Y entonces una forma de definir los números complejos es tomar los polinomios reales modulo $x^2+1$ .

Pero el concepto de congruencia puede definirse de forma mucho más general. En todos los ejemplos anteriores, las clases de congruencia son clases de equivalencia bajo la relación de equivalencia específica $a\equiv b \pmod n$ si $n$ divide $a-b$ . Pero no es necesario que la relación de equivalencia esté definida de este modo; se puede utilizar cualquier relación de equivalencia que sea compatible con la estructura que se considere.

Este concepto de congruencia puede utilizarse, por ejemplo, para definir el producto tensorial a partir del producto libre de espacios vectoriales, y las álgebras exteriores y simétricas a partir del producto tensorial. También, en forma de grupos cocientes, es un concepto importante en la teoría de grupos.

Pero también se puede ir en otra dirección: Dado un primo $p$ un número entero $k$ está completamente determinada por la secuencia de sus clases de congruencia módulo $p$ modulo $p^2$ modulo $p^3$ etc., pero no todas las series coherentes corresponden a un número entero. Es una pregunta natural si se puede dar sentido a las otras secuencias, y de hecho se puede; el resultado es el $p$ -que luego pueden extenderse al campo de los $p$ - los números radicales.