Demostrando que $A=\{(-2)^n : n \in \mathbb{N} \}$ es ilimitada

Question

Estoy tratando de demostrar que $A=\{(-2)^n : n \in \mathbb{N} \}$ es ilimitado.

Lo que yo hice fue el primero en mostrar que para cada $n \in \mathbb{N}$ si $n$ es incluso, a continuación, $(-2)^n = 2^n$ e si $n$ es impar, a continuación, $(-2)^n = -2^n$ (yo lo hice por inducción en $n$).

Luego me indican que por cada $n \in \mathbb{N}$ existe $k \in \mathbb{N}$ tal que $(-2)^n \lt (-2)^k$ porque si $n$ es incluso entonces $$(-2)^n=2^n\lt 2^k$$ Donde la última desigualdad se cumple por la definición de las facultades naturales. En el caso de que $n$ es impar es obvio ahora.

Estoy en lo cierto? Es una forma más elegante de la prueba así? gracias!

Answer 1

¿Qué significa ser limitada? $A$ es acotado si existe algún número positivo $M$ tal que $|a|\leq M$ todos los $a\in A.$ desea mostrar a $A$ es ilimitado, así que no hay tal $M$ que satisface esa condición. Una manera de hacer esto es elegir un número positivo arbitrario, y encontrar algo en $A$ a que magnitud más grande que lo que has elegido. Si usted puede hacer esto para cualquier $M>0$ $A$ no puede estar acotada.

Así que para empezar la prueba: Vamos a $M>0.$ podemos encontrar $a\in A$ tal que $|a|> M$ mediante la selección de $n$ ...

Answer 2

Yo simplemente demostrar por inducción que $2^n>n$ $n\in\Bbb N$ y luego nota que cualquier $m\in\Bbb N$, $(-2)^{2m}=2^{2m}>2m>m$, $A$ no tiene tan ningún límite superior. Si usted también quiere mostrar que $A$ no tiene ningún límite, solo observe que $(-2)^{2m+1}=-2^{2m+1}<-(2m+1)<-m$. (Aquí estoy utilizando el hecho sobre potencias pares e impares de $-2$ que usted ya probado por inducción).

Answer 3

En primer lugar, existe un entero positivo $n$ tal que $2^n > M$el % siempre $M > 0$. Suponiendo que $N = 1 + \lfloor M \rfloor > \max(1,M)$, tenemos $2^N = (1+1)^N > 1+N > 1+M > M$, así que sólo necesitamos poner $n = N$.

A continuación, se demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que $\left|(-2)^n\right| > M$, que es equivalente a $2^n > M$, $(-2)^n$ es ilimitada. Q.E.D

Answer 4

Que es esencialmente correcta, pero usted debe ser más precisa. Trataría de una prueba por contradicción.

Estamos tratando de mostrar que la secuencia es ilimitada. Para ello, vamos a mostrar que no puede delimitarse. Supongamos que la secuencia era limitada, para que todos los términos es menor que $M$ en valor absoluto. Necesita mostrar que para cada $M\in\mathbb{N}$, hay un $n$ así que $|(-2)^n|>M$. Una vez demuestras esto, hay una contradicción, por lo que la prueba es completa.