¿Sea los últimos 6 dígitos de $M!-N!$ $999000$, que de la siguiente opción no es posible para $M\times(M-N)$?
A-150
B-180
C-200
D-225
E-234
Ambos $M$ y $N$ son enteros positivos y $M>N$. $M!$ es el factorial de $M$.
¿Cómo resolver esta cuestión? Soy incapaz de hacer cualquier progreso.
Respuestas
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rlpowell
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Me estoy volviendo un comentario en una respuesta.
Si los últimos seis dígitos de la $M!-N!$ $999000$ ( $M\gt N$ ), $N!$ es divisible por $8$ pero no $16$, lo que significa que $N=4$ o $5$. Pero eso implica $M!$ termina en cualquiera de las $999120$ o $999024$, ninguno de los cuales es posible para un factorial. (Para finalizar con un gran resto, $M$ tendría que ser mayor que $9$, pero si $M\ge10$, $M!$ termina con dos $0$'s.) Así, paradójicamente, tal vez, podemos concluir que todas las opciones para $M(M-N)$ son posibles, porque la premisa es siempre falsa.
(Gracias a Michael por señalar un error en la respuesta original.)
Volodymyr Fomenko
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308
$$M!-N!=N!(\frac{M!}{N!}-1)$$
Como los tres últimos dígitos son cero, concluimos que el $20>N>14$, porque no es divisible por $(\frac{M!}{N!}-1)$ $10$. (no siempre pero suponemos que $M>>N$, $\frac{M!}{N!}$ es divisible por 10)
Ahora sólo necesitas poner las posibles respuestas en $M(M-N)$ y tratar de encontrar cualquier M natural cuando $20>N>14$.
No trato de todas las variantes pero una cant la respuesta porque ecuación $M^2-MN-150=0$ no tiene ninguna soluciones naturales con las restricciones en N. La posible respuesta es B.
