Número de círculos separados en medio plano menos un disco que tocan ambos componentes de la frontera

Question

Deje $\Omega \subset \mathbb{C}$ ser mitad derecha del plano -, con el disco de $D$ quita, donde $D$ es el disco de radio $r=3$ centrada en $z_0=5$. ¿Cuál es el número máximo de distintos abrir los discos en $\Omega$ cuyo límite tocar ambos componentes del borde de $\Omega$?

Esta es una pregunta que yo tenía en mi examen de calificación de años; yo no podía resolver, y hoy me tropecé de nuevo y se queja de mí que no puedo encontrar una solución. O al menos, sin el uso de cualquier tabla o de cualquier mapa que yo no podía llegar con mi propia durante un examen.

Lo que yo hice (entonces y ahora) es transformar conformemente la mitad derecha del plano en el círculo unidad y, a continuación, vea en el que el disco $D$ está asignado. Entonces mi idea era contar el número de círculos en este escenario. Si los círculos no son los que vienen de líneas verticales en la mitad derecha del plano, a continuación, provienen de círculos en el dominio original $\Omega$ (una prueba simple para un círculo de no ser una "mala" círculo, no se centra en la recta real, por ejemplo).

Es decir, $$ f(z)=\frac{z-1}{z+1} $$ mapas de $\Omega$ a la unidad de disco con el disco de $\tilde{D}$ quita, donde $\tilde{D}$ es el disco centrado en $w_0=\frac{11}{15}$ radio $\frac{2}{15}$ (esto se deduce de algunas de primaria pero tediosos cálculos que no voy a incluir en la pregunta).

Ahora, no sé cuántos distintos círculos tocando ambos componentes del borde de $f(\Omega)$ me puede caber en él, ni sé cómo se va a garantizar que la respuesta es invariante bajo $f^{-1}$.

Answer 1

Como ya se ha dicho en los comentarios, es útil mapa de $\Omega$ con la transformación de Möbius $T$ a un anillo entre dos círculos concéntricos, y podemos asumir que el anillo se centra en torno a $w=0$.

Algunos geométricas observaciones ayudar a encontrar una transformación de $T$. Deje $a$ $b$ ser el pre-imágenes de $\infty$$0$, respectivamente.

• A partir de la simetría de $\Omega$ y el anillo con respecto a la eje real, podemos concluir que, tanto en $a$ $b$ son reales.
• $a$ $b$ debe ser simétrica con respecto al eje imaginario, es decir, $b = -\overline a$. Real $a, b$, esto se simplifica a $b = -a$.
• $a$ $b$ debe ser simétrica con respecto al círculo de radio de $r=3$ centrada en $z_0 = 5$, es decir,$(a - z_0)\overline{(b-z_0)} = r^2$. En nuestro caso, esto se simplifica a $(a-5)(b-5) = 3^2$.

De ello se desprende que $9 = (a-5)(-a-5) = -a^2 + 25$ y, por tanto,$a = \pm 4$, así $$ T(z) = \frac{z+4}{z-4} $$ es un candidato. Ahora compruebe que$T$, de hecho, los mapas de $\Omega$ a un anillo con el centro $w=0$, radio interior $R_1= 1$ y radio exterior $R_2 = 3$.

Discos tocando ambos componentes del borde de $\Omega$ se asignan por $T$ a discos tocando ambos círculo interior y exterior del anillo. Estos de la imagen de los discos deben tener radio uno y un centro de $|w| = 2$. Es ahora fácil ver que no puede haber más de seis de ellos, comparar la Wikipedia: Steiner de la cadena de (enlace proporcionado por @ccorn en un comentario) o Wolfram Mundo: Steiner de la cadena.

Answer 2

Sólo añadir una gráfica de la figura de Martin R la respuesta. La transformación se utiliza en la figura difiere ligeramente de la de Martin en que $$f(z)=4+\frac{16}{z-4}=\frac{4z}{z-4}=2\left(1+T(z)\right)$$ pero ambos son igualmente utilizables. El punto importante es que la inversión círculo que tiene su centro en $c=4$. Bien, $c=-4$ habría funcionado tan bien, ambas posibilidades de seguir desde que requieren constante anillo ancho: $$f(0)-f(z_0-r) = f(z_0+r)-f(\infty)$$

El sólido negro con círculos $\partial D$ y un ejemplar conjunto de solución de los círculos. El guión-círculo de puntos representa la inversión círculo asociados con $\bar{f}$. Los círculos grises son los límites de $f(\Omega)$. Los guiones de los círculos son las imágenes de la solución de los círculos bajo los $f$, estos forman una Steiner de la cadena con respecto a los círculos grises. Dos de los guiones círculos de desaparecer bajo sólido círculos, esos son intercambiados por $f$.

Tenga en cuenta que el contenido de el anillo podría girar y producir solución válida círculos debajo de la inversa de la transformación, con una excepción: No hay círculo se toque el centro de inversión $c$, de lo contrario, los mapas de vuelta para (vertical) de la línea que no toque el $y$-eje (en $\mathbb{C}$, que es).