Incorporación

Question

La pregunta que yo estoy viendo es como sigue:

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Demostrar que existe una incrustación de la línea como un subconjunto cerrado del plano, y hay una incrustación de la línea como un subconjunto acotado del plano, pero no es la incrustación de la línea como un cerrado y limitado subconjunto del plano.

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Mi comprensión de la inclusión es que tiene que ser un homomorphism de $ \mathbb{R} \to f(x) \in \mathbb{R}^2$. I. e. el número completo de la línea debe ser en $ \mathbb{R}^2$ en algunas de sus formas, después de la transformación.

Mis pensamientos para el subconjunto cerrado son, simplemente,$ f(x) : x \to (1,x) $, ya que esto es efectivamente es la identidad de la función de más de una dimensión. Cerrado 0 todos los límites están contenidas, e ilimitada como la de Cauchy secuencias no convergen a medida que x se aproxima a $ - \infty $$ \infty $.

Para delimitada $ f(x) : x \to (arctanh(x),x) $ $ (-1,1) $ que codifica el número completo de la línea, ha de Cauchy secuencias convergentes en los límites, pero no contiene $ x = -1 $ o $ x = 1 $.

Son estas intuiciones correctas para las partes de la pregunta, o estoy interpretando mal la incrustación de un concepto? Hay mucho más sencillas respuestas? Me siento como que me falta algo.

Answer 1

El primer ejemplo está bien (esencialmente incrustar los reales como una línea recta en el plano), lo que nos da una incrustación $e$ $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}^2$ donde $e[\mathbb{R}]$ es cerrado.

Para hacer que sea limitada, el uso de la esencia misma idea, con ese $f(x) = \arctan(x)$ es un homeomorphism entre el $\mathbb{R}$ $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$ que es un intervalo abierto acotado. Para entrar en el avión, agregar un fijo de coordenadas: $e(x) = (\arctan(x),0)$, que tiene la imagen delimitada $(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \times \{0\}$, y sigue siendo un homeomorphism entre el $\mathbb{R}$ y su imagen. La adición de $x$ como segunda coordenada hace ilimitado de nuevo (es un homeomorphism todavía).

Si hubo algunos incrustación $e: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2$ donde $e[\mathbb{R}]$ (que es homeomórficos a$\mathbb{R}$, por definición, de una incrustación!) sería cerrado y acotado, y $e[\mathbb{R}]$ sería compacto por el Heine-Borel teorema, que $\mathbb{R}$ no es (y compacidad es preservada por homeomorphism...).