¿Cuál es el significado físico de los conmutadores en la mecánica cuántica?

Question

Esta es una pregunta que me han hecho varias veces los estudiantes y me cuesta formularla en términos que puedan entender. Es una pregunta natural y no suele estar bien tratada en los libros de texto, por lo que me gustaría conocer diversas perspectivas y explicaciones que pueda utilizar a la hora de enseñar.

La pregunta surge de forma natural en lo que suele ser el segundo curso de física cuántica / mecánica cuántica de los estudiantes. En esa etapa uno se siente bastante cómodo con el concepto de funciones de onda y con la ecuación de Schrödinger, y ha tenido una exposición limitada a los operadores. Un caso común, por ejemplo, es explicar que algunos operadores se conmutan y que esto significa que los observables correspondientes son "compatibles" y que existe una base propia mutua; la relación de conmutación suele expresarse como $[A,B]=0$ pero no se dice más sobre ese objeto.

Naturalmente, esto hace que los estudiantes se pregunten

cuál es, exactamente, el significado físico del objeto $[A,B]$ ¿en sí mismo?

y esta no es una pregunta fácil. Me gustaría que las respuestas abordaran esto directamente, idealmente en una variedad de niveles de abstracción y antecedentes requeridos. Tenga en cuenta también que estoy mucho más interesado en el objeto $[A,B]$ sí mismo que cuáles son las consecuencias e interpretaciones cuando es cero, ya que éstas son mucho más fáciles y se exploran con mucha más profundidad en la mayoría de los recursos.

---

Una de las razones por las que esta es una pregunta difícil (y por las que los conmutadores son objetos tan confusos para los estudiantes) es que sirven para una variedad de propósitos, con sólo delgados hilos de conexión entre ellos (al menos como se ve desde la perspectiva de abajo hacia arriba).

• Las relaciones de conmutación suelen expresarse en la forma $[A,B]=0$ aunque, a priori Parece que hay poca motivación para la introducción de dicha terminología.

• La relación de conmutación canónica tiene mucho peso $[x,p]=i \hbar$ aunque no siempre está claro lo que significa.

  (En mi opinión, el principio fundamental que esto codifica es esencialmente la relación de de Broglie $\lambda=h/p$ Esto se hace riguroso por la Teorema de unicidad de Stone-Von Neumann pero eso es bastante para esperar que un estudiante lo entienda a la primera).

• A partir de esto hay una extensión natural del Principio de Incertidumbre de Heisenberg, que en su forma general incluye un conmutador (y un anticonmutador, para empeorar las cosas). A menudo se introducen pares de observables canónicamente conjugados, lo que a menudo se ve favorecido por las observaciones de los conmutadores. (Por otra parte, las relaciones de conjugación energía-tiempo y momento angular no pueden expresarse en términos de conmutadores, lo que hace las cosas aún más confusas).

• Los conmutadores se utilizan con mucha frecuencia, por ejemplo, al estudiar el álgebra del momento angular de la mecánica cuántica. Está claro que desempeñan un gran papel en la codificación de las simetrías en la mecánica cuántica, pero apenas se aclara cómo y por qué, y en particular por qué la combinación $AB-BA$ debería ser importante para las consideraciones de simetría.

  Esto adquiere aún más importancia en los tratamientos más rigurosos de la mecánica cuántica, en los que las particularidades del espacio de Hilbert pierden importancia y el álgebra de operadores observables pasa a ocupar el centro del escenario. El conmutador es la operación central de esa álgebra, pero de nuevo no está muy claro por qué esa combinación debería ser especial.

• A veces se hace una analogía con los corchetes de Poisson de la mecánica hamiltoniana, pero esto no ayuda: los corchetes de Poisson son igualmente misteriosos. Esto también relaciona el conmutador con la evolución del tiempo, tanto en el lado clásico como a través de la ecuación de movimiento de Heisenberg.

No se me ocurren más en este momento, pero hay un gran número de direcciones opuestas que pueden hacer que todo sea muy confuso, y rara vez hay un hilo conductor. Entonces: ¿qué son exactamente los conmutadores y por qué son tan importantes?

Answer 1

Los operadores autoadjuntos entran en la QM, descrita en complejo espacios de Hilbert, a través de dos formas lógicamente distintas. Esto conduce a un par de significados correspondientes del conmutador.

La primera forma es común a las otras dos posibles formulaciones del espacio de Hilbert (real y cuaterniónico): Los operadores autoconjuntos describen observables .

Dos observables pueden ser compatible o incompatible en el sentido de que pueden o no pueden medirse simultáneamente (las mediciones correspondientes se perturban mutuamente al observar los resultados). Hasta algunos tecnicismos matemáticos, el conmutador es un medida de incompatibilidad En vista de las generalizaciones del principio de Heisenberg que menciona en su pregunta. A grandes rasgos, cuanto más diferente sea el conmutador de la forma $0$ cuanto más incompatibles sean los observables. (Piense en desigualdades como $\Delta A_\psi \Delta B_\psi \geq \frac{1}{2} |\langle \psi | [A,B] \psi\rangle|$ . Impide la existencia de un vector propio común $\psi$ de $A$ y $B$ - los observables están definidos simultáneamente - ya que dicho vector propio verificaría $\Delta A_\psi =\Delta B_\psi =0$ .)

La otra forma en que los operadores autoadjuntos entran en el formalismo de la MQ (aquí las versiones real y cuaterniónica difieren del caso complejo) se refiere a la descripción matemática de las simetrías continuas. De hecho, parecen ser generadores de grupos unitarios que representan transformaciones físicas (fuertemente continuas) del sistema físico. Dicha transformación continua está representada por un grupo unitario de un parámetro $\mathbb R \ni a \mapsto U_a$ . Un célebre teorema de Stone establece, en efecto, que $U_a = e^{iaA}$ para un único operador autoadjunto $A$ y todos los reales $a$ . Este enfoque para describir las transformaciones continuas conduce a la versión cuántica del teorema de Noether sólo en vista del hecho (¡distinto!) de que $A$ también es un observable .

La acción de un grupo de simetría $U_a$ en un observable $B$ se hace explícita mediante la conocida fórmula de la imagen de Heisenberg:

$$B_a := U^\dagger_a B U_a$$

Por ejemplo, si $U_a$ describe las rotaciones del ángulo $a$ alrededor del $z$ eje, $B_a$ es el análogo del observable $B$ medido con instrumentos físicos girados de $a$ alrededor de $z$ .

El conmutador aquí es un evaluación de primer orden de la acción de la transformación sobre el observable $B$ ya que (de nuevo hasta las sutilezas matemáticas, especialmente en lo que respecta a los dominios):

$$B_a = B -ia [A,B] +O(a^2) \:.$$

Por lo general, la información que abarcan las relaciones de conmutación es muy profunda. Cuando se trata de Grupos de Lie de simetrías, permite reconstruir toda la representación (hay una maravillosa teoría de Nelson sobre este tema fundamental) bajo algunas hipótesis matemáticas bastante suaves. Por lo tanto, los conmutadores desempeñan un papel crucial en el análisis de las simetrías.

Answer 2

Me gustaría ampliar un poco la interpretación de los conmutadores como medida de perturbación (relacionado con la incompatibilidad, como se ha comentado en las otras respuestas). Mi interpretación del conmutador es que $[A,B]$ cuantifica la medida en que la acción de $B$ cambia el valor de la variable dinámica $A$ y viceversa.

Supongamos que $A$ es un operador autoadjunto con un espectro discreto no degenerado de valores propios $\{a\}$ con los eigenkets asociados $\lvert a\rangle$ . Entonces se puede demostrar que, para cualquier operador $B$ existe la siguiente descomposición $$ B = \sum_{\Delta} B(\Delta),$$ tal que $$[A,B(\Delta)] = \Delta B(\Delta),$$ donde $B(\Delta)$ se define a continuación. Visualización del conmutador $[A,.]$ como operador lineal, tiene la forma de una ecuación de valores propios. Los valores propios $\Delta$ vienen dadas por las diferencias entre los pares de valores propios de $A$ Por ejemplo $\Delta = a'-a$ . La forma específica de los eigenoperadores $B(\Delta)$ es $$ B(\Delta) = \sum_{a} \langle a+\Delta\rvert B\lvert a\rangle \;\lvert a+\Delta\rangle\langle a\rvert.$$ Esto demuestra que el $B(\Delta)$ son "operadores de escalera" que actúan para aumentar el valor de la variable $A$ por una cantidad $\Delta$ . El conmutador induce así una descomposición natural de $B$ en contribuciones que cambiar el valor de $A$ por una cantidad determinada. Un ejemplo sencillo es la conocida relación de conmutación entre el espín $-1/2$ operadores: $$[\sigma^z,\sigma^x] = \mathrm{i}2\sigma^y = +2\sigma^+ - 2\sigma^-.$$ Esto le dice que $\sigma^x$ tiene dos partes, que aumentan o disminuyen la proyección del giro sobre el $z$ eje por dos "unidades", que en este caso significa $\pm 2\times\frac{\hbar}{2} = \pm \hbar$ .

En general, el conmutador completo es $$ [A,B] = \sum_{\Delta} \Delta B(\Delta). $$ El $B(\Delta)$ son linealmente independientes $^{\ast}$ por lo que el conmutador sólo desaparece si $B(\Delta) = 0$ para todos $\Delta \neq 0$ es decir, si $B$ no cambia el valor de $A$ . Si $[A,B]\neq 0$ se puede obtener una medida de cuánto $B$ cambia $A$ calculando la norma de Hilbert-Schmidt (al cuadrado) del conmutador: $$\mathrm{Tr}\left\{[A,B]^{\dagger}[A,B]\right\} = \sum_{a,a'}(a-a')^2\lvert\langle a\rvert B \lvert a' \rangle\rvert^2. $$ Es la suma de los elementos de la matriz (al cuadrado) de $B$ que vinculan diferentes estados propios de $A$ ponderado por el cambio correspondiente en los valores propios (al cuadrado). Así que esto cuantifica claramente el cambio en $A$ provocado por la aplicación de $B$ .

Ahora la parte no tan obvia: ¿qué significa "cambiar $A$ aplicando $B$ ¿"Significa físicamente"? Como señala Valter, la evolución y las transformaciones en QM se realizan formalmente aplicando operadores unitarios generado por los observables, no por la aplicación de los propios observables. Esto se relaciona con la descomposición anterior de la siguiente manera. Supongamos que tomamos $A$ para ser el Hamiltoniano $H$ . Entonces es sencillo demostrar que la evolución de $B$ en la imagen de Heisenberg viene dada por $$B(t) = e^{i H t} B e^{-i H t} = \sum_{\Delta} e^{i\Delta t} B(\Delta), $$ donde aquí $\Delta$ son las frecuencias de Bohr del sistema considerado. Los operadores de salto $B(\Delta)$ puede interpretarse como las componentes de Fourier de la función valorada por el operador $B(t)$ . En el contexto de la teoría de perturbaciones, a menudo se aproxima el efecto de la evolución unitaria mediante la aplicación de un operador hermitiano (el hamiltoniano perturbador), en cuyo caso la interpretación de los operadores de salto es clara: describen las transiciones entre los estados propios de energía causados por la perturbación $B$ . La dependencia temporal oscilante conduce en última instancia a la conservación de la energía como condición de ajuste de la frecuencia.

Esto no es una respuesta completa a la pregunta más bien optimista de "qué significan físicamente los conmutadores". Sin embargo, puede dar que pensar al estudiante curioso.

---

$^{\ast}$ Esto se debe a que el $B(\Delta)$ son ortogonales con respecto al producto interior de Hilbert-Schmidt: $$ \mathrm{Tr}\left\{ B(\Delta)^{\dagger} B(\Delta') \right\} = \delta_{\Delta,\Delta'} \sum_a \lvert \langle a \rvert B \lvert a+\Delta \rangle \rvert^2,$$ donde el símbolo delta de Kronecker $\delta_{\Delta,\Delta'}$ es igual a 1 si $\Delta = \Delta'$ y 0 en caso contrario.

Answer 3

En un nivel básico :

1) si $[A,B]=0$ y si $A$ y $B$ son generadores infinitesimales de una simetría (por lo que también son cantidades conservadas), esto significa que tanto $A$ es invariable por $B$ y $B$ es invariable por $A$ .

Por ejemplo, $[H,J_z]=0$ significa que el momento angular se conserva durante la evolución del tiempo, y que el hamiltoniano es invariante por rotación.

Como dice @Valter Moretti, un conmutador no nulo $[A,B]$ mide la desviación de (ambas) simetrías.

2) Conmutadores de tipo $[A, B] = \pm B$ , si $A$ está asociado a un espectro discreto, significa que $B$ es un operador de subida/bajada, con un " $A$ -carga" $\pm 1$ .

Un ejemplo obvio es $[J_z, J_\pm]= \pm J_\pm$

3) Relaciones de conmutación del tipo $[\hat A, \hat B]= i \lambda$ , si $ \hat A$ y $\hat B$ son observables, correspondientes a cantidades clásicas $a$ y $b$ se puede interpretar considerando las cantidades $I = \int a \,db$ o $J = \int b \,da$ . Estas cantidades clásicas no pueden traducirse en observables cuánticos, porque la incertidumbre sobre estas cantidades siempre está en torno a $\lambda$ .

Por ejemplo, $[\hat x,\hat p] = i \hbar$ muestra que no existe un observable cuántico correspondiente a la acción $S =\int (\vec p\,d \vec x - E\, dt)$ .

Answer 4

Empecemos con la ecuación de Schrödinger: $$\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi\right> = H\left|\psi\right>$$ Desde $H$ es autoadjunta, esto también implica que $$\mathrm -i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left<\psi\right| = \left<\psi\right|H$$ Consideremos ahora el estado cuántico más general, expresado por una matriz de densidad $$\rho = \sum_k p_k\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|$$ Queremos conocer la derivada temporal de la matriz de densidad. Obviamente la derivada temporal es lineal, y también podemos utilizar la regla del producto para obtener $$\begin{aligned}\frac{\partial\rho}{\partial t} &= \sum_k p_k\left(\left(\frac{\partial}{\partial t}\left|\psi\right>\right) \left<\psi\right| + \left|\psi\right>\left(\frac{\partial}{\partial t}\left<\psi\right|\right)\right)\\ &= \sum_k p_k\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(H\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|-\left|\psi_k\middle>\middle<\psi_k\right|H\right)\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}(H\rho - \rho H)\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}[H,\rho] \end{aligned}$$ Así que ya ves que aquí el conmutador entra de forma muy natural.

A continuación, consideremos un observable $A$ y veamos la dependencia temporal de su valor de expectativa $\left<A\right>=\operatorname{tr}(A\rho)$ .

Utilizando la linealidad y la invariancia cíclica de la traza, obtenemos $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<A\right> &= \frac{\partial}{\partial t}\operatorname{tr}(A\rho)\\ &= \operatorname{tr}\left(\frac{\partial A}{\partial t}\rho\right) + \operatorname{tr}\left(A\frac{\partial\rho}{\partial t}\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\operatorname{tr}(A[H,\rho])\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(\operatorname{tr}(AH\rho) - \operatorname{tr}(A\rho H)\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\left(\operatorname{tr}(AH\rho) - \operatorname{tr}(HA\rho)\right)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right>+\frac{1}{\mathrm i\hbar}\operatorname{tr}([A,H]\rho)\\ &= \left<\frac{\partial A}{\partial t}\right> + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[A,H]\right> \end{aligned}$$ Consideremos ahora especialmente una cantidad conservada que no depende explícitamente del tiempo (es decir, $\partial A/\partial t=0$ ). Por supuesto, si la cantidad se conserva, significa que su valor de expectativa se conserva. La ecuación anterior da entonces inmediatamente $\left<[A,H]\right>=0$ y como esto debe ser cierto para cualquier $\rho$ obtenemos $[A,H]=0$ . Es decir, una cantidad conservada conmuta con el Hamiltoniano. Nótese que todo lo que hemos hecho aquí es barajar el conmutador en la traza.

Ahora veamos más de cerca el hamiltoniano. En mecánica clásica, para problemas no relativistas podemos escribir el hamiltoniano como $$H = \frac{p^2}{2m} + V(x)$$ y obtener la ecuación del movimiento $$\begin{aligned} \dot x &= \frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}\\ \dot p &= -\frac{\partial H}{\partial x} = -V'(x) \end{aligned}$$ Ahora probemos si podemos conseguir eso al menos en promedio con la mecánica cuántica. Con la ecuación de los promedios, tenemos (ya que ni $x$ ni $p$ dependen explícitamente del tiempo) $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<x\right> &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[x,H]\right>\\ &= \frac{1}{\mathrm i\hbar}\frac{1}{2m}\left<[x,p^2]\right> + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\underbrace{\left<[x,V(x)]\right>}_{=0}\\ &= \frac{1}{2m\mathrm i\hbar}\left(\left<[x,p]p\right> + \left<p[x,p]\right>\right) \stackrel{!}{=} \frac{1}{m}\left<p\right> \end{aligned}$$ Ahora es obvio que se obtiene el resultado correcto si $[x,p]=\mathrm i\hbar$ . También, $$\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial t}\left<p\right> &= \left<[p,H]\right>\\ &= \frac{1}{2m\mathrm i\hbar}\underbrace{\left<[p,p^2]\right>}_{=0} + \frac{1}{\mathrm i\hbar}\left<[p,V(x)]\right> \stackrel!= \left<-V'(x)\right> \end{aligned}$$ No es difícil comprobar que este resultado se obtiene si $p=-\mathrm i\hbar\partial/\partial x$ que también da la relación de conmutación que acabamos de derivar.

Sobre la conexión con las simetrías y las relaciones de incertidumbre ya has obtenido respuestas (y es bastante tarde en la noche ahora), así que voy a parar aquí.

Answer 5

Puede ser útil asignar a los estudiantes el siguiente problema HW :

Supongamos que $A$ y $B$ sean dos observables

i) ¿Cuál es la condición necesaria para que $A$ y $B$ puede ser simultáneamente en un experimento sin ninguna incertidumbre?

ii) Escribe todos los polinomios de segundo grado en $A$ y $B$ que son de nuevo observables.

iii) Supongamos que A es el hamiltoniano**. El tiempo hace evolucionar un estado $|\psi\rangle$ para un tiempo $t$ en $A$ y denotar el estado así obtenido como $|\psi(t)\rangle$ . ¿Podemos expresar $\displaystyle\frac{d\langle\psi(t)|B|\psi(t)\rangle}{dt}$ como $\langle\psi(t)|\mathcal{O}|\psi(t)\rangle$ para algún observable $\mathcal{O}$ ? Si sí, encuentre $\mathcal{O}$ .

** En este problema también podemos tomar $A$ para ser algún otro generador de simetría que no sea el hamiltoniano.

---

Añadido más tarde :

• Cuando el conmutador desaparece los dos observables pueden ser medidos simultáneamente en un experimento sin incertidumbre (esto se deduce de los axiomas de la QM).
• El valor esperado del conmutador $i[H,A]$ (donde H es el Hamiltoniano) en un estado indica la tasa de cambio temporal del valor de la expectativa de $A$ en ese estado. Más generalmente, el valor de la expectativa del conmutador $i[B,A]$ en un estado está relacionado con el cambio infinitesimal en el valor de la expectativa de $A$ en ese estado, bajo la simetría de un parámetro generada por $B$ .
• Para dos observables dados $A$ y $B$ su conmutador (i*) $i[A,B]$ y el anticomutador $\{A,B\}$ son de nuevo observables. Sin embargo, el conmutador aparece más a menudo en los problemas de QM (y quizás sea más significativo) que el anticomutador debido a los dos puntos anteriores.