Tal vez mis preguntas son stupit, pero estoy tan seguro acerca de algunas de las propiedades de la ecuación del calor.
Supongamos que tenemos un compacto y liso colector M (posiblemente con límite), luego en un montón de libros que escribir el calor del núcleo como $K(x,y,t)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}e^{-\lambda_i t}u_{i}(x)u_i(y)$ donde $\lambda_1 < \lambda_2\leq\lambda_3...$ son los autovalores del operador de Laplace actuando sobre las funciones y el $u_i(x)$ son los correspondientes normalizado funciones propias.
1) ¿Cuál es el significado exacto de la ecuación de $K(x,y,t)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}e^{-\lambda_i t}u_{i}(x)u_i(y)$? ¿Por qué la suma en el lado derecho convergen para todos los $x,y \in M$ $t\in (0,\infty)?$
2) a Veces en los libros que ellos intercambiando la suma con la diferenciación y la integración, respectivamente, es decir, que escribir algo como: $$\int_M K(x,y,t) dy=\int_M \sum\limits_{i=0}^{\infty}e^{-\lambda_i t}u_{i}(x)u_i(y)dy = \sum\limits_{i=0}^{\infty}\int_M e^{-\lambda_i t}u_{i}(x)u_i(y)dy.$$
o $$ \frac{\partial }{\partial x} K(x,y,t) = \frac{\partial }{\partial x}\sum\limits_{i=0}^{\infty}e^{-\lambda_i t}u_{i}(x)u_i(y) = \sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{\partial }{\partial x} e^{-\lambda_i t}u_{i}(x)u_i(y)$$
¿Cuáles son las razones que justifican esos intercambios? Yo sería muy feliz si usted me puede ayudar.
Saludos
