Suponga que tiene N símbolos (por ejemplo, "1", "2",..., "N" o "a", "b",...,"$") y una cadena de estos símbolos (digamos, los primeros trillones de dígitos de pi). Entonces, ¿existe un número primo cuya representación N-aria contenga esa cadena de dígitos?
Respuestas
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Sí. Esto sigue de la versión fuerte del postulado de Bertrand. Por ejemplo, para ver que hay un primer que contiene los dígitos 314159, utilice el hecho de que existe un primo entre 314159 * 10 ^ N y 314159*10^N*(1.000001) n suficientemente grande.
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Creo que hay una manera más fácil (bueno, más fácil si asumes el Teorema de Dirichlet - creo que es más simple que la forma fuerte del Postulado de Betrand). Interpreta la cadena como un número entero M en base N; si resulta ser relativamente primo a N, ya está hecho - utiliza Dirichlet para encontrar un primo congruente a M módulo N^k donde k es la longitud de la cadena. El método de David coloca la cadena dada como los dígitos más significativos del primo, mientras que este enfoque la coloca como los menos significativos.
Si M tiene un divisor común con la base N, se puede rellenar con un "1" al final (por ejemplo, sustituir 31415 por 314151 en base 10). El relleno sustituye a M por NM+1, que obviamente es relativamente primo de N.
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Si la secuencia de dígitos termina en un dígito que es coprimo a N, se puede hacer la declaración más fuerte que existe un número primo cuyas cifras finales tienen exactamente esa secuencia; Esto es solo de Dirichlet teorema sobre números primos en progresión aritmética.
Si el último dígito ya no coprime a N, a virar en un "1" adicional.
