¿Cuando uno escribe $\zeta_n$ que de la n raíces de la unidad se entiende aquí?

Question

¿Cuando uno escribe $\zeta_n$ que de la n raíces de la unidad se entiende aquí? ¿Importa?

Answer 1

El contexto es importante aquí.

Es bastante estándar para $\zeta_n$ a, al menos denotar un primitivo $n$th raíz de la unidad en la algebraicas que se cierre el campo de $k$ que está siendo considerado actualmente (esto es posible si el carácter de $k$ no divide $n$; en particular, esto es cierto para todos los campos de característica cero). Cuando la característica de $k$ no divide $n$ (es decir, cuando cualquier primitiva $n$th raíces de la unidad existen) no son, precisamente, $\varphi(n)$ primitiva $n$th raíces de la unidad, donde $\varphi$ es de Euler del phi de la función.

En un contexto en el que $k$ es un subcampo de los números complejos, también es bastante estándar para $\zeta_n$ para denotar la específica primitivo $n$th raíz de la unidad $e^{\frac{2 \pi i}{n}}$, es decir, el uno de un mínimo de argumento en el plano complejo.

¿Importa? Para algebraica de los efectos, probablemente no: el primitivo $n$th raíces de la unidad en la $\mathbb{C}$ son algebraicamente conjugado $\mathbb{Q}$: es decir, diferentes raíces común de un polinomio irreducible sobre $\mathbb{Q}$, el cyclotomic polinomio $\Phi_n(t)$. A veces en la teoría de los números uno considera los sistemas de $n$th raíces de la unidad para la variación de $n$, y en este caso es necesario hacer una consistente (en cierto sentido) elección de $\zeta_n$'s. Tomando $\zeta_n = e^{\frac{2 \pi i}{n}}$ para todos los enteros positivos $n$ es una constante elección, pero hay (muchos!) otros.

Por supuesto siempre hay situaciones cuando se confunden un número complejo para otro iba a traer problemas, así que sí, en principio es posible que la materia, especialmente en analítica o métrica argumentos.

Answer 2

Generalmente esto significa $e^{ \frac{2\pi i}{n} }$. Dependiendo del contexto, sólo puede significar cualquier primitiva $n^{th}$ raíz de la unidad (y a veces no importa que uno, ya que está tomados uno al otro bajo la acción del grupo de Galois).

Answer 3

Probablemente un primitivo.