Conjeturar sobre los ceros de la función analítica

Question

Tengo una conjetura que yo no puedo probar ni refutar, cualquier ayuda en hacerlo, será muy agradecido.

Deje $f: \{z: |z|<2\} \to \mathbb C$ ser un no constante de la analítica de la función de tal forma que si $|z|=1$$|f(z)|=1$.

Es cierto que los ceros de $f$ no puede ser en $\{ z: 1/2< |z| < 2 \}$ ?

He probado, la máxima módulo teorema, que $f$ debe tener un cero en el interior de $\{ z: |z|<1 \}$. Sin embargo, me parece que no puede probar que todos los ceros debe ser en $\{ z:|z| < 1/2 \}$, ni para encontrar un contraejemplo.

Answer 1

Es cierto. Si una función es unimodular en el círculo unitario ($|f(z)|=1$), se pueden utilizar el principio de reflexión de Schwarz que te dice que los ceros y polos son simétricos wrt el círculo de la unidad ($z\ \leftrightarrow\ \bar{z}^{-1}$). No hay postes dentro de $|z|=1$, por lo que hay no hay ceros fuera de $|z|=1$ para la continuación analítica. Todos los polos están fuera $|z|=2$ entonces todos los ceros dentro de $|z|=1/2$.