Un Grothendieck la topología en una categoría $\mathcal{C}$ con límites finitos consiste en, para cada objeto $U$ $\mathcal{C}$ una colección de $\text{Cov}(U)$ de los conjuntos de $\{ U_i \to U \}$ tal que
- Isomorphisms se cubre, e.g si $V \to U$ es un isomorfismo, a continuación, $\{ V \to U \} \in \text{Cov}(U)$
- Transitividad: Si $\{V_i \to U \}$ $\{V_{ij} \to V_i \}$ son las cubiertas, a continuación, $\{V_{ij} \to U \}$ es también una cubierta
- Si $\{U_i \to U \} \in \text{Cov}(U)$ $V \to U$ una de morfismos, a continuación, $\{V \times_U U_i \to V \} \in \text{Cov(V)}$
El reclamo es que la siguiente cobertura:
$\mathcal{C} = \text{Rings}^{\text{op}}$, y los revestimientos son lo contrario de las colecciones $\{R \to R_i \}$ donde
- Cada una de las $R \to R_i$ plano
- Si $M$ $R$- módulo tal que $M \otimes_R R_i=0$ todos los $i$ $M=0$
(He interpretado $R \to R_i$ plana en el sentido de $R_i$ es plano como una $R$-módulo)
Yo (creo) he verificado que las dos primeras condiciones (isomorfismo y transitividad). Por ejemplo la segunda parte de la transitividad se siga desde: $$ \begin{align} 0 &\simeq M\otimes_{U} V_{ij}\\ &\simeq M \otimes_{U}\left(U_i \otimes_{U_i}V_{ij}\right) \\ &\simeq \left(M \otimes_{U} U_i \right) \otimes_{U_i} V_{ij} \end{align}$$ que le da ese $M \otimes_U U_i=0$ que a su vez da $M=0$
No estoy seguro de cómo interpretar el producto de fibra en el punto 3. Por ejemplo quiero mostrar que la $M \otimes_V (V \times_U U_i)=0$ da $M=0$, pero no tengo idea de lo que el producto de fibra se encuentra en esta categoría, y cómo interactúa con el producto tensor.
