$e^x, e^{2x}..., e^{nx}$ Es independiente linear en el espacio del vector de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

Question

Demostrar $e^x, e^{2x}..., e^{nx}$ es lineal independiente en el espacio vectorial de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$

no es suficiente decir que el $e^y$ cualquier $y \in \mathbb{R}$ $\mathbb{R}^+$
Por lo tanto, no hay $\gamma_1, ...\gamma_n$ tal que $\gamma_1e^x+\gamma_2e^{2x}...+\gamma_ne^{nx}=0$.
Por lo tanto, son no lineales dependientes.

He visto una prueba de que va como sigue:
tome $(n-1)$ derivados de la ecuación. luego, obtuvo $n$ ecuaciones con $n$ variables. Organizar en una matriz (que se encuentra fuera a ser de Van-Der-Monde de la matriz).
calcular el determinante que es $\ne 0$. Por lo tanto, sólo la solución trivial existen. Por lo tanto, no lineal de la dependencia.

Es todo lo que es necesario?

Answer 1

Positividad de la exponencial no es suficiente como se señaló en los comentarios y la respuesta de anorton.

Partir de la ecuación $$\forall x\in\mathbb R, \quad \sum_{j=1}^n\gamma_je^{jx}=0.$ $ multiplique esta ecuación por $e^{-nx}$. Conseguimos cualquier $x$, $$\gamma_n+\sum_{j=1}^{n-1}\gamma_je^{(j-n)x}=0.$ $, que $x\to+\infty$, obtenemos $\gamma_n=0$. Podemos repetir el procedimiento o escriba correctamente por inducción.

Answer 2

Para mostrar que las funciones $e^{\alpha_i x}$ son linealmente independientes sobre $\Bbb R$ para distintas, reales pero de otra manera arbitraria $\alpha_i$, entonces los argumentos presentados por Davide Giraudo y julien en sus respuestas parecen ser el camino a seguir. Así, +1 para cada una de sus respuestas y felicita por su buen trabajo!

Sin embargo, si uno está interesado principalmente en la demostración de las funciones $e^x$, $e^{2x}$, . . . $e^{nx}$, etc., son linealmente independientes, es decir, las funciones $e^{mx}$ positivos integral de la $m$, como parece ser el indicado en el título y en el cuerpo de la pregunta como se indica, a continuación, el siguiente truco que puede ser de interés: supongamos que existía $\beta _i \in \Bbb R$ con

$\sum_1^n \beta_i e^{ix} = 0; \tag{1}$

entonces, desde el $e^{ix} = (e^x)^i$, (1) se convierte en

$\sum_1^n \beta_i (e^x)^i = 0, \tag{2}$

es decir, $e^x$ debe ser de un (verdadero) cero de la ecuación polinómica

$p(y) = \sum_1^n \beta_i y^i = 0, \tag{3}$

lo que implica que $e^x$ sólo puede tomar en la mayoría de las $n$ valores que se realizará entre el real ceros de $p(y)$. Y que simplemente no funcionan, no??

Nota Añadida en la Edición, el viernes 10 de enero de 2014 11:43 AM PST: En la luz de la cálida recepción, en términos de upvotes, esta respuesta ha recibido y también a la luz de Christoph Pegel del comentario, me gustaría señalar que este enfoque va un largo camino hacia completamente algebraicizing este problema, al menos para las funciones de la forma $e^{ix}$ y relacionados. Como se indica por Christoph Pegel, cualquier función de la satisfacción de $f(mx) = (f(x))^m$ positivos integral de la $m$ será susceptible a este argumento, a saber. tendríamos que tener

$\sum_1^n \beta_i (f(x))^i = 0 \tag{4}$

si el $f(nx)$ eran linealmente dependiente. Tenga en cuenta que el hecho de que (3) o (4) en la mayoría de los número finito de ceros es puramente algebraica resultado, dependiendo únicamente de la distancia Euclídea fórmula de división $p(x) = (x - \lambda)q(x)$ $\lambda$ a raíz de la $p(x)$; de hecho, (4) se muestra el $(f(x))^i$ son linealmente independientes si $f(x)$ toma en un número infinito de valores. Los resultados se extienden a los casos de otros $f$, es decir, $f(x) = a^x$ cero real $a$ etc., y al parecer, incluso a otros campos de la base de que $\Bbb R$. Un bonito algebraicas situación, realmente, para el$e^{mx}$, y para cualquier otro $f$ tal que $f(mx) = ((f(x))^m$. Final de la Nota.

Espero que esto ayude! Saludos,

y como siempre,

Fiat Lux!!!

Answer 3

Puesto que el $\gamma_i$ (con su notación) puede ser negativo, no basta para indicar que $e^x > 0 \; \forall x\in\mathbb{R}$.

Puede utilizar el método del determinante de la matriz, o, creo, usted puede mirar la serie power de $e^x$ hacerlo.

Answer 4

que $e=1$. Entonces si los valores son linealmente dependientes, $e$ sería una raíz de un polinomio. EDIT: me di cuenta que este argumento es erróneo, porque los coeficientes del polinomio son de $\mathbb R$.