Un típico $L^p$ la función no tiene una traza bien definida en la frontera

Question

Esta pregunta es de PDE de Evans, 1ª edición, capítulo 5, problema 14. Se ha publicado aquí anteriormente, sin embargo, no puedo reunir toda la información de las respuestas allí. Espero que me puedan ayudar ahora. El problema es el siguiente:

Dejemos que $U$ estar acotado con un $C^1$ límite. Demuestre que una función ''típica'' función $u \in L^p(U) \ (1 \leq p < \infty)$ no tiene un rastro en $\partial U$ . Más concretamente, demostrar que no existe un operador lineal acotado lineal acotado

\begin{equation} T:L^p(U) \to L^p(\partial U) \end{equation}

tal que $Tu = \left. u \right|_{\partial U}$ siempre que $u \in C(\overline{U}) \cap L^p(U)$ .

Así que lo que estamos tratando de encontrar es una secuencia acotada de funciones que van al infinito en el límite, ¿correcto? Porque entonces $Tu = \left. u \right|_{\partial U}$ es indefinido.

Me gusta la idea de utilizar el $\mathrm{dist}(x, \partial U)$ para hacerlo. Estaba pensando en definir la función

\begin{equation} u(x) = \frac{1}{\mathrm{dist}(x,\partial U)}, \end{equation}

que debe estar en $L^p(U)$ desde $U$ está acotada (por tanto, la integral de $\varepsilon$ en $U$ es finito, ¿no?). Pero esta función no es continua en la frontera, por lo que $u \notin C(\overline{U})$ . ¿Se puede modificar esto de alguna manera?

Otra opción es utilizar que el límite es $C^1$ . Así que para cada $x^0 \in \partial U$ existe un $r > 0$ y un $C^1$ función $\gamma : \mathbb{R}^{n-1} \to \mathbb{R}$ tal que $U \cap B(x^0,r) = \{ x \in B(x^0,r) \ | \ x_n > \gamma(x_1,\ldots, x_n) \}$ . Así que alrededor de cada punto de la frontera podemos encontrar una bola en la que la coordenada n's es mayor que la $C^1$ función $\gamma$ . ¿Cómo podemos usar esto?

Answer 1

La clave es que no se puede encontrar un operador acotado. Dicho operador es continuo. Entonces, ¿qué ocurre cuando se introduce una secuencia de funciones continuas?

Supongamos que $\Omega=(0,1)$ y elija $$f_n (x):=\begin{cases} 1 &\text{ on } [0,1-1/n]\\ n-nx &\text{ on } [1-1/n,1]\end{cases}$$ Así que $f_n$ cae linealmente a cero en $[1-1/n,1]$ .

Cada $f_n$ es una función continua y tiene traza cero en $1$ . Ahora restringimos el operador de rastreo a $x=1$ . Ahora $0=\lim_n T(f_n)\neq T(f)=1$ desde $f_n\to 1$ en $L^2$ .

Answer 2

Para completar, ampliaré la idea en este comentario . La construcción no requiere $C^1$ límite, y funciona en todos los dominios acotados. Sea $$ u_n(x) = (1-n\operatorname{dist}(x,\partial U))^+$$ que es una función continua en $\overline{U}$ . Dado que la secuencia $u_n^p$ es decreciente, está dominado por $u_1^p$ que es integrable. Por lo tanto, $$ \lim_{n\to\infty}\int_U u_n^p = \int_U \lim_{n\to\infty} u_n^p = 0 $$ Por otro lado, $$\int_{\partial U}u_n^p = \int_{\partial U}1\not\to0$$ lo que da lugar a la afirmación.

Answer 3

Me gusta tu idea de tomar una función $\gamma:\mathbb R^+_0\to\mathbb R_0^+$ y componiendo con la función $d=\operatorname{dist}(\cdot,\partial U)$ . Así es como su idea funcionará realmente:

Has elegido $\gamma(t)=1/t$ pero eso puede ser demasiado singular para garantizar $L^p$ Sin embargo $\gamma(t)=[\log 1/t]_+$ debería funcionar (posiblemente utilizando la fórmula del coárea).

Para curar el hecho de que $\gamma(d(\cdot))$ no tiene rastro, puede cortarlo definiendo la secuencia $u_n(x)=n\wedge\gamma(d(x))$ cuya traza es constante $n$ y por convergencia dominada por Lebesgue (o teorema de Fatou-Lebesgue) todas integrables con integral acotada por la de $\gamma(d(\cdot))$ .