Hartshorne ' functor t de s

Question

Hartshorne (II Prop 2.6) define un functor $t$ a partir de la categoría de espacios topológicos a sí mismo de la siguiente manera: Si $X$ es un espacio topológico, definir $t(X)=\{Z\subseteq X:Z\text{ is irreducible and closed}\}$. Asignar $t(X)$ la topología con conjuntos cerrados dada por $t(Y)$ donde $Y$ es un subconjunto cerrado de $X$. Si $f\colon X_1\to X_2$ es continua, definir $t(f)\colon t(X_1)\to t(X_2)$$t(f)(Z)=\overline{f(Z)}$. (Vea la pregunta Hartshorne la proposición II(2.6) para más detalles). Por último, se define una función de $\alpha\colon X\to t(X)$ (de los cuales uno puede fácilmente demostrar que es continua) por $\alpha(P)=\overline{\{P\}}$.

Mi pregunta es sobre Abramo la respuesta a la anterior-vinculado cuestión, a saber, que el $\alpha(U)=t(X)-t(Y)$ para cualquier subconjunto $U=X-Y$$X$. Me parece que han producido un contraejemplo a esta, y yo tenía la esperanza de que alguien pueda señalar dónde metí la pata:

Deje $X$ ser números enteros no negativos con el cierre de la subconjuntos dado por $[n]=\{0,1,\ldots,n-1\}$ $n\geq0$ y, por supuesto, $X$ sí. Observe que cada uno de estos conjuntos cerrados es irreductible. En particular, $X$ es irreductible. Ahora, el cierre de los $n\in X$ es el conjunto $[n+1]$, por lo que la aplicación de $\alpha$$X$, obtenemos $$ \alpha(X)=\{[1],[2],\ldots\}.$$ Por otro lado, $$ t(X)-t(\emptyset) = t(X)=\{[1],[2],\ldots\}\cup \{X\}.$$ Por eso, $t(X)-t(\emptyset)\neq \alpha(X)$. De hecho, esto demuestra que $\alpha(X)$ no está aún abierta, ya que $t(X)-\alpha(X)=\{X\}$ no se cierra (si $t(Y)=\{X\}$ para algunos cerró $Y\subseteq X$,$X\subseteq Y\subseteq X$, es decir,$Y=X$, una contradicción).

Answer 1

Creo que he descubierto:

El mapa de $\alpha$ que Abramo define, que con fines de aclaración voy a llamar a $\beta$, no el mapa de tomar un subconjunto abierto $U$ $X$ para el cierre de sus puntos (es decir, el mapa de $U\mapsto \left\{\overline{\{P\}}:P\in U\right\}$). ¿Qué es la inversa a la pre-imagen de mapa de $\alpha^{-1}$ de la asignación original $\alpha$. Para ver esto, vamos a $U=X-Y\subseteq X$ ser abierto. Entonces $$ \alpha^{-1}(\beta(U))=\alpha^{-1}(t(X)-t(Y))=X-\alpha^{-1}(t(Y)). $$ Pero $\alpha^{-1}(t(Y))$ es sólo $Y$: Desde $Y$ es cerrado, y desde $\overline{P}$ es necesariamente irreducible, $P\in Y$ fib $\alpha(P)\in t(Y)$. Así, $$ \alpha^{-1}(\beta(U)) = X-Y=U.$$ Por el contrario, vamos a $V=t(X)-t(Y)$ ser un subconjunto de a $t(X)$ donde $Y$ es un subconjunto cerrado de $X$. Entonces $$ \beta(\alpha^{-1}(V))=\beta[\alpha^{-1}(t(X)-t(Y))]=\beta(X-Y)= t(X)-t(Y)=V.$$