¿Qué es el conmutador de un operador y su derivado?

Question

Es posible calcular de manera general el colector de un operador $O$ que depende de la variable $x$ y la derivada de esta $O$ con respecto al $x$? $${O}={O}(x)\\ \left[\partial_x{O}(x), S(x^{\prime})\right]=? $$ Para ser honesto, yo no entiendo muy bien, lo que la derivada de un operador. Cuando se conecta en el estándar de la definición de la derivada de una función, parece como si el operador conmuta con su derivado, pero no sé bien cómo se sienten acerca de que la "prueba".

En la práctica, necesito esto para calcular el conmutador del operador de campo de libre escalares del campo y sus derivados: $$\left[\partial_\mu\phi(\mathbf{x},t),\phi(\mathbf{x}^{\prime},t)\right]$$ (Yo estoy mirando a escalar la teoría de campo descrito por una densidad Lagrangiana $\mathcal{L}=\partial_\mu \phi^*\partial^\mu\phi-m^2\phi\phi^*$)

Uno puede, por supuesto, simplemente calcular esta enchufando el operador de campo, pero me preguntaba acerca de la situación general.

¿Y el caso más general de los dos operadores, cuyo colector es conocido? $$\left[O(x),U(x^{\prime})\right]=A(x,x^{\prime})\\ \left[\partial_x{O}(x),U(x^{\prime})\right]=? $$

Answer 1

La derivada de un operador: Vamos a $X(t),\;\mathbb{R}\rightarrow \mathcal{X}$ donde $\mathcal{X}$ es algo de normativa del espacio lineal, dicen que una de Banach o espacio de Hilbert. Entonces podemos definir la derivada en la forma habitual: $$\partial _{t}X(t)=\lim_{\delta \rightarrow 0}\frac{X(t+\delta )-X(t)}{\delta}.$$ However, on $\mathcal{X}$ de distintas topologías existen, fuerte, débil, uniformes, etc. Hille y Phillips, "el Análisis Funcional y Semi-Grupos", contiene bastante fácil de leer la discusión de estos asuntos.

En general, el colector no se desvanecen. Considere la posibilidad de

$$X\left(\xi\right)=U\cos\xi+V\sin\xi\Rightarrow\dfrac{dX}{d\xi}=-U\sin\xi+V\cos\xi$$ entonces uno tiene, después de algunos álgebras de

$$\left[X\left(\xi\right),\dfrac{dX}{d\xi}\right]=\left[U,V\right]$$

Entonces es claro que uno se recupera el resultado habitual para los desplazamientos $U$ $V$ operadores.

Edit: el resultado es correcto ! Gracias a los comentarios.

Answer 2

Observe que en $[\partial_xO(x),O(x')]$, sólo actúa la derivada parcial en $x$, no en $x'$. Así podemos tirar el operador de derivada parcial de la escuadra y conseguir $\partial_x[O(x),O(x')]$.