Encuentra todas las soluciones reales de $16^{x^2 + y} + 16^{x + y^2} = 1$

Question

Encontrar todos los $x, y \in \mathbb{R}$ tal forma que:

$$16^{x^2 + y} + 16^{x + y^2} = 1$$

La primera solución obvia era llevar el registro de base $16$ de ambos lados:

$$\log_{16}(16^{x^2 + y} + 16^{x + y^2}) = 0$$

la manipulación no dan lugar a ningún resultado útil. La siguiente cosa que trataba era de conseguir algunos límites en $x$$y$:

Si $x, y \geq 0$,

$$16^{x^2 + y} + 16^{x + y^2} \geq 2$$

Por eso, $x, y \le 0$. Tratando de obtener un límite inferior no fue fructífera.

También, en general, tengo un montón de dificultades para la resolución de problemas que requieren todas las soluciones a una determinada ecuación.

Lo que yo haga es casi siempre contrario a lo que la real solución y la solución en sí misma implica un extraño contra-intuitivo manipulaciones o métodos. Algunos consejos sobre cómo abordar tales problemas serán de gran ayuda para mí. Gracias.

Answer 1

Por el AM-GM de la desigualdad, (desde $16^x>0$) \begin{align}16^{x^2+y} + 16^{y^2+x} &\geq 2\times4^{x^2+x}\times4^{y^2+y}\\ &=4^{x^2+x+1/4}\times4^{y^2+y+1/4}\\ &=4^{(x+1/2)^2}\times4^{(y+1/2)^2}\\ &\geq4^0\times4^0\\ &=1 \end{align}

La segunda desigualdad proviene de la suma de los cuadrados de ser siempre no negativo.

Por lo tanto para el conjunto de la igualdad, tanto de las desigualdades debe ser la igualdad. La igualdad de la suma de los cuadrados de ser mayor que $0$ es si ambos cuadrados son cero, es decir, $x, y = -1/2$ aquí.

Afortunadamente, esto también se da la igualdad en el AM-GM, el cual necesita de los dos términos iguales para la igualdad.

Me parece que tratando de la AM-GM de la desigualdad cuando las cosas son positivas y usted está atascado es útil. Este es un problema común en la regional de olimpiadas de matemáticas.

Answer 2

Utilizando %#% $#%,

$$\bf{A.M\geq G.M}$

$\displaystyle \frac{16^{x^2+y}+16^{x+y^2}}{2}\geq \left(16^{x^2+y}\cdot 16^{x+y^2}\right)^{\frac{1}{2}}$

oprimida la igualdad cuando $\displaystyle 16^{x^2+y}+16^{x+y^2}\geq 2\cdot \left\{2^{4\left(x^2+y+x+y^2\right)}\right\}^{\frac{1}{2}} = 2\cdot \left\{2^{(2x+1)^2+(2y+1)^2-2}\right\}^{\frac{1}{2}}\geq 1$

Answer 3

izquierda se compone de a positivo

tan única solución tal vez 1 + 0, 0 + 1, 1 / 2 + 1/2

1 + 0 y 0 + 1 no tienen respuesta

pero 1 / 2 + 1/2 tiene una respuesta

x = y =-1/2