Esto es una continuación de mi última pregunta: Módulo de continuidad . Accidentalmente hice la pregunta equivocada, así que voy a empezar de nuevo y espero hacer la pregunta correcta.
Repetiré las definiciones pertinentes. Sea $\rho: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ sea una función continua no decreciente tal que $\rho(t) = 0$ si y sólo de $t = 0$ . Si puede responder a mi pregunta en el caso especial $\rho(t) = Ct$ donde $C$ es una constante, entonces probablemente será posible adaptar su construcción al caso general.
Digamos que una función $f: X \to \mathbb{R}$ en un espacio métrico tiene módulo de continuidad $\rho$ en un punto $x_0 \in X$ si $|f(x) - f(x_0)| \leq \rho(d(x,x_0))$ por cada $x \in X$ . Por ejemplo, una función tiene módulo de continuidad $Ct$ en $x_0$ si y sólo si es Lipschitz con constante Lipschitz $C$ en $x_0$ .
Pregunta Si $X$ es un espacio métrico compacto sin puntos aislados, ¿es cierto que el conjunto de todas las funciones continuas sobre $X$ que tienen módulo de continuidad $\rho$ en algún momento de $X$ no es denso en ninguna parte $C(X)$ ¿dotado de la norma supremum?
Para demostrar que la respuesta es afirmativa para un determinado $X$ hay que ser capaz de construir funciones de norma arbitrariamente pequeña que oscilen arbitrariamente rápido. Por ejemplo, si $\rho(t) = Ct$ y $X = [0,1]$ entonces se puede utilizar una función lineal a trozos tal que la pendiente de cada trozo lineal sea mayor que $C$ en valor absoluto. Sin embargo, no veo cómo generalizar esta idea a un espacio métrico compacto arbitrario sin puntos aislados.
