Integral inadecuado: $\int_1^\infty\frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx $ .

Question

Mathematica informa que la integral impropia $\int_1^\infty\frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx $ coberturas a $2\cos(1)$ . Sin embargo, cuando intento confirmarlo integrándolo mediante la sustitución u, obtengo lo siguiente $-2\lim\limits_{n=1}^\infty\left(\cos n - \cos 1\right)$ . Estoy pensando que aquí no podemos determinar el primer límite.(oscilación). Cualquier ayuda será apreciada.

Answer 1

OP, tienes razón, $$\int_1^n\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx=-2\cos\sqrt{n}+2\cos 1$$ Por lo tanto, la integral impropia es $$\int_1^\infty\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx=\lim_{n\to\infty}\int_1^n\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx=\lim_{n\to\infty}-2\cos\sqrt{n}+2\cos 1$$ Y este último límite no existe. Tu sistema de álgebra computacional (mathematica) está dando una respuesta incorrecta. Alpha da la misma respuesta incorrecta, probablemente porque tiene mathematica bajo el capó.