Raíz cuadrada de convolución de $\delta $

Question

Quiero alguna forma clasificar las soluciones distributivas de la ecuación $$ f \ast f = \delta $$ $\delta = \delta _0$ Dónde está la distribución delta de Dirac. ¿Claramente, por transformación de Fourier, tenemos $$ \widehat{f}^2 = 1, $$, pero me pregunto si es posible obtener una solución más explícita?

Answer 1

Que $A\subset\mathbb{R}$ ser un conjunto medible. Definir f_A $$ = \mathcal {F} ^ {-1} \bigl (\chi_A-\chi_ {\mathbb {R} \setminus A} \bigl), $$ donde $\mathcal{F}$ denota la transformada de Fourier transforma y $\chi_B$ es el fnction característico del conjunto $B$. Entonces $ f_A\ast f_A = \delta. $$ Algunos ejemplos explícitos son:

• $A=\mathbb{R}$, $f_A=\delta$.
• $A=\emptyset$, $f_A=-\delta$.
• $A=[0,\infty)$, $f_A=\dfrac{i}{\pi}\operatorname{Principal Value}\dfrac1x$.