¿Cuál es el significado físico del elemento no diagonal en la matriz del momento de inercia

Question

En la mecánica clásica sobre la rotación de un objeto rígido, el problema general es estudiar la rotación sobre un eje determinado, por lo que necesitamos averiguar el momento de inercia alrededor de algunos ejes. En el caso de 3 dimensiones, tenemos una matriz (es decir, el tensor de momento de inercia)

$$ I = \left( \begin{matrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz}\\ I_{xy} & I_{yy} & I_{yz}\\ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} \end{matrix} \right) $$

Tengo curiosidad por saber cuál es el significado físico del elemento matriz. Supongo que el momento de inercia en el elemento $ij$ es el momento de inercia cuando el objeto gira alrededor del eje $ij$ . Por ejemplo, $I_{xy}$ es el momento de inercia cuando el objeto gira alrededor de $xy$ eje y $I_{yy}$ es el momento de inercia cuando el objeto gira alrededor de $y$ eje, ¿es correcto?

Cuando leo más el texto, se introduce un método para diagonalizar el tensor de momento de inercia de manera que los elementos no evanescentes sólo aparezcan en la diagonal. En ese caso, el texto llama a los elementos diagonales como el momento principal de inercia, mi pregunta es ¿cuál es el significado físico del momento principal de inercia?

Answer 1

Para un objeto no esférico, existe una única dirección a lo largo de la cual el objeto es "más largo", es decir, que tiene el menor momento de inercia si gira alrededor de un eje con esa dirección. El material del objeto está lo más cerca posible de ese eje, en comparación con otras direcciones.

Hay otra dirección perpendicular a la que el momento de inercia es máximo.

Luego, finalmente, tenemos una cantidad intermedia de momento de inercia en una tercera dirección perpendicular a las dos anteriores. Mentí; ese momento de inercia "intermedio" puede ser el mismo que el mínimo o el máximo, en cuyo caso tienes cierta libertad para elegir un ángulo arbitrario para un eje, pero no importa este detalle para los fines actuales.

Un objeto esférico, por supuesto, tiene el mismo momento de inercia sobre cualquier eje, por lo que es aburrido. Tienes libertad para elegir los ejes como quieras, pero tampoco importa ese caso especial, ya que no es interesante.

Para el caso no especial, tenemos las direcciones únicas para los momentos de inercia mínimo, máximo e intermedio. Podríamos nombrar estas direcciones, los "ejes principales", con letras como, oh quizás: "X", "Y" y "Z" y así tener el tensor $$ I = \left( \begin{matrix} I_{xx} & 0 & 0\\ 0 & I_{yy} & 0\\ 0&0 & I_{zz} \end{matrix} \right) $$ Estos tres números son físicamente significativos, dando una medida general del tamaño y la distribución de la masa del objeto.

Pero puede que el objeto esté colocado en un ángulo loco con respecto a las cosas que nos importan, como nuestro bonito tablero, nuestra noción local de "este" y "norte". Así que debemos rotar el objeto y sus diversos vectores y tensores físicos (y espinores si es un fermión). Una rotación arbitraria se describe mediante tres ángulos (por ejemplo, los ángulos de Euler). La forma más general es $I$ tensor tiene entonces seis cantidades independientes. Vemos nueve componentes, pero cuentan como seis debido a que siempre es un tensor simétrico.

El significado físico de las componentes no diagonales es que estás utilizando un sistema de coordenadas no alineado con las direcciones principales del objeto. No nos dicen nada interesante sobre el objeto en sí.

Answer 2

La ecuación fundamental que contiene $I$ es:

$\vec{L} = I \vec{\omega}$

donde $\vec{L}$ es el vector de momento angular, y $\vec{\omega}$ es el vector de velocidad angular. El hecho de que $I$ es un tensor (y no sólo un escalar) significa que $\vec{L}$ y $\vec{\omega}$ no apuntan necesariamente en la misma dirección.

Cuando se desea una representación matricial particular del tensor de momento de inercia, se puede obtener elementos no diagonales. Sin embargo, como por su propia definición, cualquier representación matricial de $I$ es una matriz simétrica. Cualquier matriz real y simétrica siempre puede ser diagonalizada por matrices ortogonales. Lo que esto significa físicamente es que, para al menos una elección de $x$ , $y$ , $z$ ejes, la representación de $I$ será perfectamente diagonal, con todos los elementos no diagonales a cero.

Sin embargo...

Esto no significa en absoluto que los elementos no diagonales no sean importantes. Y no voy a eludir la cuestión de su significado.

También está la ecuación que describe la dinámica de todo el negocio:

$\frac{d \vec{L}}{ dt} = \vec{\tau}$

Esto es análogo a $\frac{d\vec{p}}{dt} = \vec{F}$ que describe el movimiento lineal; aquí por supuesto $\tau$ es el par, mientras que $\vec{L}$ es el momento angular.

Sustituyendo $\vec{L} = I \vec{\omega}$ y asumiendo un tensor de momento de inercia invariable en el tiempo, esto se convierte en

$I \frac{d\vec{\omega}}{dt} = \vec{\tau}$

Ahora bien, el par que está aplicando no tiene por qué coincidir con un vector que diagonalice su $I$ (estos vectores se denominan ejes principales). Por ejemplo, tomemos la rueda de nuestro coche. Está impulsada por una varilla que pasa por su eje. Consideremos que es el $z$ -eje. Así que, en este caso, $\tau_z$ es distinto de cero, mientras que $\tau_x$ y $\tau_y$ son cero.

La ecuación anterior es en realidad tres ecuaciones, déjame mostrar la tercera explícitamente:

$I_{zx} \frac{d\omega_x}{dt} + I_{zy} \frac{d\omega_y}{dt} + I_{zz} \frac{d\omega_z}{dt} = \tau_z$

Ahora, si los elementos no diagonales $I_{zx}$ y $I_{zy}$ son cero (asumiendo condiciones iniciales cero) su rueda sólo adquirirá $\omega_z$ Es decir, empezará a girar bien en torno al eje sobre el que estás aplicando el par.

Sin embargo, si no son cero... $\omega_x$ y $\omega_y$ no se mantienen en cero. Es decir, ¡la rueda tenderá a empezar a girar también alrededor de los otros ejes! Por lo tanto, no se obtendrá una rotación alrededor del $z$ -eje, y la rueda tenderá a tambalearse. ¡Esta es la condición en la que usted lleva su coche al taller, y tiene las ruedas equilibradas!

Por lo tanto, los elementos no diagonales significan realmente que cualquier intento de rotar el cuerpo aplicando un par de torsión sobre un eje dado no resultará en una rotación sobre sólo ese eje y habrá rotación alrededor de los otros ejes también.

Obsérvese que si, por ejemplo, tenemos $I_{xy} \neq 0$ y $I_{xz} = I_{yz} = 0$ un par de torsión alrededor de la $z$ eje resultará en una rotación equilibrada, mientras que un par alrededor del $x$ o $y$ las hachas no...

Answer 3

Tu suposición es errónea, porque en primer lugar, no hay un eje "xy", sólo hay un plano "xy", el plano perpendicular a la dirección z.

Como usted señala, su texto describe cómo la matriz puede hacerse diagonal. No estoy seguro de lo bien que lo explica el texto, pero la forma de conseguir que la matriz sea diagonal es pasar a un nuevo sistema de coordenadas: Usted comenzó con $x$ , $y$ y $z$ de "alguna" manera. Pero su inicial $x, y$ y $z$ puede no ser el eje "natural" de su objeto. Si vas a nuevos ejes $x', y'$ y $z'$ tal que el tensor es diagonal, ahora estás en un sistema de coordenadas donde el objeto girará libremente sólo alrededor de esos nuevos ejes. Por eso se llaman ejes principales.

Lo bueno de las matrices diagonales es que los productos matriz-vector en ellas son muy fáciles de calcular. Por ejemplo, si giras con velocidad angular $\omega$ alrededor de un eje $\vec \omega = (\omega_x, \omega_y, \omega_y)$ , entonces la energía rotacional de eso es $$\frac{1}{2} \vec{\omega}^T \cdot I \cdot \vec{\omega}$$ Si $I$ es diagonal, esto se convierte simplemente en $$\frac{1}{2} \omega_x^2 I_{xx} + \frac{1}{2} \omega_y^2 I_{yy} + \frac{1}{2} \omega_z^2 I_{zz}$$

Sin embargo, es correcto que $I_{yy}$ es el momento de inercia para la rotación alrededor del $y$ eje. Los elementos fuera de diagonal entrarían en juego si no se va al sistema de coordenadas que hace $I$ diagonal y, a continuación, observar las rotaciones en torno a ejes diferentes de los ejes de coordenadas. Por ejemplo $\vec \omega = (\omega, \omega, 0)$ . Allí, la energía rotacional sería $$\frac{\omega^2}{2}(I_{xx} + I_{yy} + 2 I_{xy})$$ .

Así que si quieres calcular la energía rotacional en un sistema de coordenadas donde $I$ no es diagonal, se obtienen todos esos molestos elementos de la matriz fuera de la diagonal, desordenando su expresión, mientras que puede deshacerse de todos ellos si transforma el sistema de coordenadas para que sean $0$ .

Esta diagonalización, por cierto, es algo que surge muy a menudo en todos los campos que tratan con matrices, simplemente porque facilita mucho el tratamiento de esas matrices, y las entradas diagonales restantes (los "valores propios" de esa matriz) contienen mucha información útil sobre la naturaleza de la matriz.