Cuántas secuencias de números enteros consecutivos son allí donde la suma es igual a la longitud

Question

Estoy realmente triste y me di cuenta que la secuencia:

$0 , 1 , 2$

Tiene su suma igual a su longitud.

Me preguntaba cuántas estas existían.

por ejemplo:

$ 1$

$-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5$ $(= 9)$

Tengo hasta ahora y se atascó, reduje a averiguar cuántas soluciones son a la ecuación:

$m^2 - n^2 + m + n = 0$ , $0 < n < m$

¿Alguien me puede decir cómo averiguar esto?

Answer 1

Usted puede factor $(m-n+1)(m+n)=0$. El factor derecho es positivo, por lo que debe tener $m+1=n$. Esto viola la última desigualdad.

Sin embargo, si usted tiene los números de $-n$ $m$ la expresión correcta es $\frac 12(m^2+m) - \frac 12 (n^2+n)=m+n+1$ que produce $m^2-m-n^2-3n-2=0$

Answer 2

Es de la suma de $0 + 1 + 2 + \ldots + (n-1)$ $\frac{n(n-1)}{2}$ (y tiene longitud $n$) la suma de cualquier longitud $n$ secuencia de enteros consecutivos comenzando en $m$ $nm + \frac{n(n-1)}{2}$ (ya que estas secuencias son de la forma $m+0,m+1,m+2,\ldots,m+(n-1)$) y necesitamos resolver el diophantine ecuación $$nm + \frac{n(n-1)}{2} = n.$$

We should cancel $n $ and double it to get $2 m + n = 3.$ This equation will only have solutions for odd $n$, this tells us there are no even length sequences with that property. On the other hand if $n$ es impar, hay exactamente una tal secuencia.

---

n | m  | 2m+n  | sequence
-------------------------
1 | 1  | 3     | 1
2 | impossible... 
3 | 0  | 3     | 0 1 2
4 | impossible...
5 | -1 | 3     | -1 0 1 2 3
6 | impossible...
...

Answer 3

La suma de una secuencia no vacía de números es igual a su longitud si y sólo si el promedio de sus términos es $1$. El promedio de una secuencia de enteros consecutivos es un número entero si y sólo si la longitud de la secuencia es impar, en cuyo caso es el término medio de la secuencia. Así que usted está buscando en el conjunto de todos los pares de secuencias de longitud de los sucesivos números enteros cuyo término medio es $1$; estos son fáciles de lista, y hay infinitamente muchos de ellos. No olvide la secuencia vacía, que también califica.