Evaluar $\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}$ ?

Question

¿Cómo puedo calcular un límite de la forma:

$$\lim_{x\to 0}\;(1+x)^{1/x}$$

Sé que este tipo de límites tienen una solución basada en $e$ pero, ¿cómo puedo encontrar esta solución?

Answer 1

$\lim\limits_{x \rightarrow 0}\exp (x\ln (1+x))=\exp(\lim\limits_{x \rightarrow 0}(x\ln(1+x)))=\exp(0)=1$ .

$\lim\limits_{ x \rightarrow 0}\exp ( \frac{\ln (1+x)}{x})=\exp(\lim\limits_{x \rightarrow 0}(\frac{\ln(1+x)}{x}))=\exp(1)=e$ . Utilice L'Hospital.. para ver $\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$

Answer 2

Sugerencia :

Las funciones $y = \log x$ y $y = e^x$ son continuas, y las funciones continuas respetan los límites: $$\lim_{n \to \infty} f(g(n)) = f\left( \lim_{n \to \infty} g(n) \right),$$ para todas las funciones continuas $f$ , siempre que $\displaystyle\lim_{n \to \infty} g(n)$ existe. Sea $$L=\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}$$ sea el límite que usted desea encontrar. En lugar de encontrar $L$ directamente, intente por su cuenta encontrar $\ln(L)$ .

Answer 3

Intenta escribir esto como $$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$ El teorema del binomio puede ser de ayuda entonces.

Otra forma de ver esto es tomar los registros y usar L'Hospital $$\log\left(\lim_{x\to0}(1+x)^{1/x}\right)=\lim_{x\to0}\frac{\log(1+x)}{x}$$

Answer 4

Si utilizamos la sustitución $x=\frac{1}{y}$ ya que $\lim_{x\rightarrow 0}x=\lim_{y\rightarrow \infty }\frac{1}{y}$ obtenemos

$$\lim_{x\rightarrow 0}\left( 1+x\right) ^{1/x}=\lim_{y\rightarrow \infty }\left( 1+\frac{1}{y}\right) ^{y}=e,$$

que utiliza el resultado

$$\lim_{n\rightarrow \infty}\left( 1+\frac{1}{n}\right) ^{n}=e.$$

Answer 5

Perdón por subir la imagen - soy nuevo y todavía tengo que averiguar cómo marcar las matemáticas

La primera línea asume que usted sabe que if f(x) = ln(x) then f'(1) = (ln(x+h) - ln(x)) / h

ps f'(1) = 1