Dejemos que $X$ et $Y$ sean conjuntos contables. Entonces $X\cup Y$ es contable

Question

Desde $X$ et $Y$ son contables, tenemos dos biyecciones:

(1) $f: \mathbb{N} \rightarrow X$ ;

(2) $g: \mathbb{N} \rightarrow Y$ .

Así que para demostrar que $X\cup Y$ es contable, me imagino que necesito definir alguna función,

h: $\mathbb{N} \rightarrow X\cup Y$

Por ello, me preguntaba si podría reclamar algo similar a lo siguiente:

como tenemos (1) y (2) se deduce que también tenemos las biyecciones

$\alpha : \{n\in \mathbb{N} : n = 2k + 1, k\in \mathbb{N}\} \rightarrow X$ ;

$\beta : \{n\in \mathbb{N} : n = 2k, k\in \mathbb{N}\} \rightarrow Y$ ;

porque tenemos biyecciones de $\mathbb{N}$ a los pares y a las probabilidades respectivamente.

Entonces defina $h := \alpha$ para impar $n$ , $h := \beta$ para incluso $n$ .

Por lo tanto, ya que $\forall n\in \mathbb{N}$ (o bien $n$ es par o $n$ es impar pero no ambos) $h$ es una biyección de $\mathbb{N}$ a $X\cup Y$ .

Gracias por leer, y por contestar si responden. Es que realmente no estoy seguro de si mi lógica se sostiene aquí, o si incluso estoy enfocando esto correctamente porque he estado atascado en este problema durante un rato hoy.

p.s perdón por hacer tantas preguntas últimamente, estoy intentando estudiar por mi cuenta y al parecer me confundo y me atasco más fácilmente de lo que pensaba sin un profesor.

EDIT: (1) arreglado el par y el impar. (2) Me refiero a la infinidad contable. Fallo mío, repasando unos apuntes que encontré por internet usaban la notación de "contable" para lo que tú llamas "contablemente infinito", y "como mucho contable" para lo que tú llamas "contable" (3) Gracias por las buenas respuestas, ahora veo que esto hace que se rompa cuando no son disjuntos, pero al menos no estoy muy equivocado.

Answer 1

Su intuición es correcta. La mecánica de tu prueba falla un poco. Por ejemplo, ¿qué pasa si un elemento está en ambos $X$ et $Y$ ? Entonces la función que propones no es una biyección.

Pero eso no es tan difícil de arreglar.

Answer 2

Por contable parece que te refieres a un infinito contable. Puede que esa no sea la definición formal de su libro. La definición formal de contable que estoy más acostumbrado es que un conjunto $S$ es contable si existe una biyección entre $S$ y un subconjunto de $\mathbb{N}$ .

Si la definición más general es la definición formal de contable utilizada en su libro, tendrá que dividir la prueba en varios casos o escribir un argumento que cubra simultáneamente todos los casos. Que puede pero habrá más claridad si se adopta el enfoque del número de casos.

Para infinito contablemente establece $X$ et $Y$ La técnica de prueba que has utilizado es muy buena si $X$ et $Y$ son disyuntiva . La notación que has utilizado no me resulta familiar. Está claro lo que pretender las funciones $\alpha$ et $\beta$ hacer. Habría sido relativamente fácil ser totalmente explícito, de la siguiente manera.

Si $n$ es impar, entonces $h(n)=f((n+1)/2)$ ; si $n$ es incluso entonces $h(n)=g(n/2)$ .

Tendrá que modificar su método para ocuparse de los casos en los que $X$ et $Y$ no son disjuntos. La intuición es clara, e incluso, informalmente, un procedimiento para encontrar una biyección. Pero es una muy buena idea escribir todos los detalles.

Espero que esto sea una buena manera de empezar. Puedo adjuntar más detalles si lo desea.