¿Por qué el período de rotación es finito para un objeto no giratorio?

Question

Esta pregunta es de naturaleza conceptual, ya que obviamente no estoy entendiendo algo sencillo. Supongamos que tenemos un objeto astronómico en rotación (digamos un púlsar) con un período de rotación T. La velocidad de rotación disminuye a la tasa constante $\frac{dT}{dt} = C$ .

En algún momento $t$ el púlsar se habrá detenido por completo y su frecuencia será $f = \frac{1}{T} = 0$ . Hasta ahora, todo va bien.

Sin embargo, si separamos la ecuación diferencial original, e integramos, obtenemos $T(t) = ct+T_0$ . ¿No debería esto dar el período del púlsar en cualquier momento $t$ ? Sin embargo, no hay $t$ para lo cual $\frac{1}{T} = 0$ . En otras palabras, el púlsar nunca debería detenerse, sólo debería acercarse asintóticamente a la rotación cero. ¿Cuál es la causa de esta contradicción?

Answer 1

No hay contradicción, porque tu suposición de que en algún momento finito el púlsar se detendrá es falsa. Podemos resolver la ecuación para $f$ :

$$\frac{dT}{dt} = \frac{d(1/f)}{dt} = -\frac1{f^2}\frac{df}{dt} = C$$

Lo que equivale a

$$\frac{df}{dt} = -Cf^2$$

La solución es

$$f(t) = \frac{1}{Ct+1/f_0}$$

Por supuesto, esto es lo mismo que tomar la expresión para $T(t)$ y sustituyendo $T=1/f$ . De ello se desprende que $f$ se aproxima asintóticamente a cero. Su confusión proviene probablemente de suponer que si $T$ aumenta linealmente, entonces $f$ disminuye linealmente; como muestran las matemáticas, esto no es cierto.

Answer 2

Voy a abordar esto desde una perspectiva matemática. Estás confundiendo lo finito con lo infinito.

Empezaré con un ejemplo, toma una secuencia $(a_n)_{n=1}^\infty$ donde $a_n:=\frac{1}{n}$ .

Es fácil comprobarlo: $$\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n)=0$$ Yo llamo "lógica de nivel A" a entender los límites como "sustitución de fantasía", así que seamos formales. Porque no podemos definir la secuencia en $n=\infty$ (o realmente definir cualquier noción de infinito) eludimos la cuestión por completo, diciendo $a_n\rightarrow L$ si:

$\forall\epsilon > 0\exists N\in\mathbb{N}\forall n\in\mathbb{N}[n>N\implies |a_n-L|<\epsilon]$

Escoge cualquier $\epsilon$ que te gusta, existen algunas $N$ tal que todos los puntos de la secuencia después de $N$ están dentro de $\epsilon$ del límite.

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Apliquemos esto. Una secuencia es un caso especial de una función, $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ por $f:n\rightarrow a_n$ así que no deberías tener muchos problemas para seguirlo.

Dejemos que $f:\mathbb{R_{\ge 0}}\rightarrow\mathbb{R}$ - esta es su frecuencia.

Buen ejemplo

Supongamos que la frecuencia disminuye lentamente - como en el ejemplo de la ODE anterior - pero que inicialmente está girando
Dada una $t\in\mathbb{R}_{\ge 0}$ $f(t)>0$ así que $\frac{1}{f(t)}$ se define.
No hay ningún momento en el que esto no sea así, si $$\lim_{t\rightarrow+\infty}(f(t))=0$$ entonces esto significa: $$\forall\epsilon>0\exists C\in\mathbb{R}_{\ge0}\forall x\in\mathbb{R}_{\ge0}[x>C\implies |f(t)-L|<\epsilon]$$ Obsérvese que esto dice básicamente que "existe un punto", $C$ de manera que después de $C$ $f(x)$ siempre está dentro de $\epsilon$ del límite", por lo que, de nuevo, nunca llegamos a $t=\infty$ Lo esquivamos.

Ejemplo desagradable

Supongamos que en algún momento, $t'$ - por un instante o más - la frecuencia es realmente $0$ entonces la función de periodo: $p(t):=\frac{1}{f(t)}$ es indefinido en este momento.
Hay varias formas de jugar a esto. Si se considera la línea real, con un solo $\infty$ añadido, estás tratando con algo que es (topológicamente) un círculo. Como $\tan$ , $-\infty=+\infty$ en este caso. Esto tiene sentido si algo está cambiando la dirección por la que gira (si has optado por tratar con frecuencias negativas)
El homeomorfismo del círculo debería tener sentido ahora. Si no, puedo hacer algunos dibujos.

Supongamos, sin embargo, que no cambia de dirección, sino que simplemente se detiene y vuelve a ponerse en marcha. En este caso, el período se dirigiría a $+\infty$ y luego volver a bajar de $+\infty$ que es distinto de ir a $-\infty$ luego volviendo de $-\infty$

Supongamos que usted optó por "ambos infinitos son iguales" - ahora puede decir $f(t')=\infty$ con precisión, ya que el límite es el mismo desde ambos lados de $t'$ sin embargo esto no te dice si subió o bajó de ahí. (mientras que algo que tiende a $+\infty$ te dice que está creciendo) que no es una buena manera.

Supongamos que se opta por los valores reales ampliados, es decir, se añade $\pm\infty$ en la mezcla. Entonces, si algo cambia de dirección, y no tiene periodo en $t'$ el límite $\lim_{t\rightarrow t'}(\frac{1}{f(t)})$ no existe, ya que si entras por la izquierda, es diferente a si entras por la derecha. Así que $f(t')$ es realmente indefinido.

Como puede ver, no podemos tener las dos cosas. Por lo tanto, simplemente decimos "indefinido".