Topología de Munkres Pregunta artículo 17 problema 5

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto ordenado con la topología de orden. Demuestre que $\overline {(a,b)}\subset [a,b]$ ¿En qué condiciones se mantiene la igualdad?

Prueba:Dado que $\overline{(a,b)}$ es el conjunto cerrado más pequeño que contiene $(a,b)$ y $[a,b]$ es un cerrado que lo contiene por lo que la relación sigue

Pero, ¿cómo mostrar la parte de la igualdad?

Answer 1

En efecto, $[a,b]$ (suponiendo que $a < b$ , tanto en $X$ ) está siempre cerrada, ya que $$X \setminus [a,b] = \{x \in X: x < a \} \cup \{x \in X: x > b\}\;,$$ y por definición, los dos conjuntos de la derecha son abiertos. Así que esa parte es correcta.

$a \in X$ tiene un vecino derecho si existe algún elemento $y \in X$ tal que $a,y$ y $(a,y) = \emptyset$ ; esto $y$ se denota entonces a menudo como $a^{+}$ . Definimos un vecino izquierdo $a^{-}$ de manera similar (para que $a^{-}<a$ y $(a^{-},a) = \emptyset$ ). Por supuesto, en algunos conjuntos ordenados no existen vecinos a la derecha ni a la izquierda, como en los reales o los racionales. En otros, existen ambos (como en $\mathbb{Z}$ ), y en un conjunto como $[0,1] \cup [2,3]$ 1 es el vecino izquierdo de 2, etc.

Afirmo que $a \in \overline{(a,b)}$ si $a$ no tiene ningún vecino derecho.

Prueba: Supongamos que $a$ no tiene vecino derecho. Dejemos que $O$ sea un subconjunto abierto que contenga $a$ . Si $a$ es el mínimo de $X$ (si existe) esto significa que para algunos $y > a$ tenemos que $[a, y) \subseteq O$ y si $a$ no es mínimo tenemos $z < a$ y $y > a$ tal que $(z,y) \subseteq O$ . En cualquier caso, defina $y' = \min(y,b)$ El $y' > a$ y así $(a,y') \neq \emptyset$ lo que significa que $O \cap (a,b) \neq \emptyset$ y así $a \in \overline{(a,b)}$ . Por otro lado, si $a$ tiene un vecino derecho $a^{+}$ , $\{x \in X: x < a^{+}\}$ está abierto en $X$ y no se cruza con $(a,b)$ (ya que un punto en él contradiría $(a,a^{+}) = \emptyset$ ), por lo que $a \notin \overline{(a,b)}$ . Así que tenemos la equivalencia.

De la misma manera, $b \in \overline{(a,b)}$ si $b$ no tiene ningún vecino de la izquierda. Así que tenemos igualdad de $\overline{(a,b)}$ y $[a,b]$ si $a$ no tiene ningún vecino derecho y $b$ no tiene ningún vecino de la izquierda.

Answer 2

Esta es mi idea (siéntase libre de criticar):

si $a = b$ entonces $(a,b) = \emptyset$ lo que significa $\overline{(a,b)} = \emptyset \neq [a,b] = \{a \}$ .

Pero si $a \neq b$ , todavía podrías tener $(a,b) = \emptyset$ si no hay $z \in X$ con $a < z < b$ .

Entonces, lo que realmente queremos es que exista $z \in X$ tal que $a < z < b$ (nótese que esto implica $a \neq b$ ). Pero entonces, si $a$ no es el elemento más pequeño de $X$ y sólo hay una $z$ tal que $a < z < b$ Entonces tendríamos un barrio abierto alrededor de $a$ (A saber, $(a', z)$ donde $a' < a$ ) tal que la vecindad no intersecte $(a,b)$ lo que significaría $a$ no es un punto límite de $(a,b)$ ...

Creo que lo que necesitamos es la capacidad de encontrar siempre un punto entre dos puntos del espacio, es decir, si $x, y \in X$ tenemos que ser capaces de encontrar $z \in X$ tal que $x < z < y$ .

Answer 3

Por definición, $(a,b)$ es el conjunto de todos los puntos $x$ tal que $a<x<b$ , igualmente con $[a,b]$ sólo incluye a y b. Así que, para que la igualdad se mantenga, necesitamos $a$ y $b$ para ser puntos límite de $(a,b)$ . Así, un criterio necesario y suficiente para que la igualdad se cumpla es que una serie de puntos $x_n\in (a,b)$ converge a $a$ y otra converge a $b$ ...., lo que significa que el tipo de orden debe ser denso.

Ejemplo de densidad: Los racionales o los reales. Ejemplo de no denso: Los enteros.

Los enteros en la topología de orden, el cierre de $(0,10)$ no es $[0,10]$ ya que no hay ninguna secuencia de enteros en $(0,10)$ que convergen en cualquiera de los extremos.