Espacio de convergencia y compacto de la serie

Question

Que $K$ sea un espacio topológico compacto de Hausdorff. $\{x_n\}_1^\infty \subset K $ tal que $x_i \not= x_j, i \not=j$ y $\{a_i\}_1^\infty \subset \mathbb{K}$. Mostrar las siguientes son equivalentes:

1. para todos los $f \in C(K)$ es convergente la serie $\sum_{n=1}^\infty a_nf(x_n)$
2. $\sum_{n=1}^\infty |a_n|<\infty$

¿Implicación de $2$ $1$ es por supuesto fácil, pero lo que sobre el otro?

Answer 1

Definamos el % funcionales $\lambda_N\in C(K)^*=M(K)$por el $$ \lambda_N=\sum_{n=1}^N a_n\delta_{x_n}.$$ Your first assumption implies, through the uniform boundedness principle that $% $ $\sup_N\|\lambda_N\|_{M(K)}<\infty. $

Ahora recordemos que $$ \sup\{|\lambda_N(f)|: \|f\|_{C(K)}\le 1\}= \|\lambda_N\|_{M(K)}\le \sum_{n=1}^N|a_n|.$$ Consider the function $ f$ defined on the closed set $X_N=\{x_1,\ldots, x_N\}$ by $$ f (x_j) = \left\ {\begin{array}{rr} \frac{|a_j|}{a_j} & a_j\ne 0 \\ 0 & a_j=0.\end{matriz} \right. $$

Por el Teorema de extensión de Tietze podemos extender $f$a una función continua $\tilde f$ % sobre el conjunto de $K$, conserva la norma del supremum, que nos tenga en cuenta que $\|f\|_\infty \le 1$. Esto produce %#% $ #%

La condición $$ \|\lambda_N\|_{M(K)}\ge |\lambda_N(\tilde f)|=\sum_{n=1}^N|a_n|.$$$ \sup_N \|\lambda_N\|_{M(K)}<\infty $% $ $ now exactly means $

Answer 2

Desplácese hacia abajo (o tal vez pronto lo será). Hay una solución y no es este.

Esto es como yo lo tengo, un poco más de mi comentario anterior.

Restricción del problema: Suponga que el conjunto de $S\subset K$ donde $\{x_n\}$ se acumula, contiene sólo un número finito de elementos de $X:=\{x_n\}$.

Supongamos que, con el fin de obtener una contradicción, que

$$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\infty$$

A continuación, hay una secuencia $b_n>0$ tal que $b_n\to 0$ $$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|b_n=\infty$$

Definamos $$f(x_n):=\begin{cases}\text{sgn}(a_n)b_n&\text{ for }x_n\notin S\\0&\text{ for }x_n\in S\end{cases}$$ Podemos extender $f$ a una función continua poniendo a $f(x)=0$ $x\in S$ $K$ mediante la extensión de Tietze teorema.

A continuación, $$\sum_{n=1}^{\infty}a_nf(x_n)=\sum_{n\in\mathbb{N}:\ x_n\notin S}|a_n|b_n=\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|b_n-\text{(a finite number)}=\infty$$

Otro caso: Suponga que $\delta: C(K)\to \mathbb{K}$, definido por $f\stackrel{\delta}{\mapsto} \sum_{n=1}^{\infty}a_nf(x_n)$ es una funcional lineal continua.

Entonces por Riesz-Markov-Kakutani no es una medida de Radón $\mu$$K$, con un límite total variación $|\mu|(K)<\infty$ tal que $$\delta(f)=\int_K f d\mu$$

Vemos que $\mu=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\delta_{x_n}$ donde $\delta_{x_n}$ es la medida de Dirac apoyado en $x_n$. A continuación, $$\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=|\mu|(K)<\infty.$$

Answer 3

1 a 2:

Si $\mathbb K=\mathbb R$.(El mismo pensamiento de $\mathbb K=\mathbb C$) Vamos a construir una función continua que realiza el trabajo. Lo que queremos lograr es $f(x_n)=sign (a_n)$ y, a continuación,$a_n\cdot sign(a_n)=|a_n|$. Suponemos que a $K$ está conectado a un espacio de lo contrario, usted puede hacer lo que vamos a hacer en los componentes conectados de $K$.

Procedemos por inducción.

Deje $U_1$ ser una región de $x_1$ $U_2$ ser una región de $x_2$ tal que $U_1\cap U_2= \emptyset$.

Ahora vamos a $U_{31},U_{32}$ ser regiones de $x_3$ $U_{11},U_{22}$ b e regiones de $x_1,x_2$ respectivly tal que $U_{31}\cap U_{11}=\emptyset$$U_{32}\cap U_{22}=\emptyset$. Tomamos $U_3=U_{31}\cap U_{32}$ como una región de $x_3$ $\widetilde {U_1}=U_1\cap U_{11}$ $\widetilde {U_2}=U_2\cap U_{22}$ la nueva regiones de $x_1,x_2$.

Seguimos encontrando $\widetilde{U_3}$ con el que vamos a tener ahora un problema porque $\widetilde{U_3}\subset U_3$.

Deje $f_1:K\to \mathbb K$ tal que $f_1(x)=sign(a_1)$ si $x\in \widetilde{U_1}$ $0$ lo contrario.

Deje $f_2:K\to \mathbb K$ tal que $f_2(x)=sign(a_2)$ si $x\in \widetilde {U_2}$ $0$ lo contrario. y

dejamos $f_3:K\to \mathbb K$ tal que $f_3(x)=sign(a_3)$ si $x\in \widetilde {U_3}$ $0$ lo contrario.

y así sucesivamente...

Ahora, si nos vamos a $\widetilde{f_i} $ a ser la "suavidad" de $f_i$, es decir, de "pegamento" el salto de la $1$(o $-1$)$0$, podemos ver que $\widetilde{f_i}$ son continuas.

Deje $f=\cup \widetilde{f_i}$ y debido a $K$ es compacto $f$ es continua con la propiedad $f(x_n)=sign(a_n)$.

Un rápido pensamiento mío.

Trate de hacer el encolado si te gusta:)