Preguntas sobre la función L para la serie de Eisenstein

Question

$E_a(z,s)$ denota la serie de Eisenstein expandida en la cúspide $a$ . Para cada cúspide $a=\frac{u}{w}$ de $\Gamma_0(N)$ definimos la serie de Eisenstein $$ \begin{eqnarray}E_a(z,s)&=&\sum_{\tau\in\Gamma_a\backslash\Gamma}\Im(\sigma^{-1}_a\tau z)\\&=&\delta_{a\infty}y^s+\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(s-\dfrac{1}{2})}{\Gamma(s)}\rho_a(s,0)y^{1-s}\\&+&\frac{2\pi^s\sqrt{y}}{\Gamma(s)}\sum_{m\neq0}|m|^{s-\frac{1}{2}}\rho_a(s,m)K_{s-\dfrac{1}{2}}(2\pi|m|y)e(mx), \end{eqnarray} $$ donde $$\rho_a(s,m)=\left(\frac{(w,\frac{N}{w})}{wN}\right)^s\sum_{(\gamma,\frac{N}{w})=1}\frac{1}{\gamma^{2s}}\sum_{\delta(\bmod \gamma w),(\delta,\gamma w)=1, \delta \gamma\equiv u\left(\bmod(w,\dfrac{N}{w})\right)}e(-m\dfrac{\delta}{\gamma w}).$$

Me gustaría saber qué es la respuesta o relación entre la de Riemann $\zeta(s)$ de las siguientes dos series L $\sum_{n>0}\dfrac{\rho_a(s,n)}{n^w}$ y $\sum_{n>0}\dfrac{\widetilde{\rho_a(s,n)}}{n^w}$ donde $\widetilde{\rho_a(s,n)}=\dfrac{\rho_a(s,n)\zeta(2s)}{\sigma_{1-2s}(m)}$ . Gracias.

Answer 1

Sólo respondo a esto porque no has recibido respuesta. Usted está preguntando acerca de la matriz de dispersión de la serie de Eisenstein (situación ramificada).

Estos cálculos han sido realizados por Huxley en su artículo Matrices de dispersión para subgrupos de congruencia .

En mi tesis he obtenido resultados similares para campos globales, pero en $GL(2)$ . No se traducen tan fácilmente. Se trata de un entorno adelico y restrinjo la atención a series de Eisenstein bastante específicas. A partir de ellas se pueden obtener las series de Eisenstein habituales en GL(2).