¿Cómo es el gradiente la máxima tasa de cambio de una función?

Question

Hace poco leí un libro que describía el gradiente. Dice $${\rm d}T~=~ \nabla T \cdot {\rm d}{\bf r},$$ y de repente llegaron a la conclusión de que $\nabla T$ es la tasa máxima de cambio de $f(T)$ donde $T$ es la temperatura. No lo he entendido. ¿Cómo el gradiente es la tasa máxima de cambio de una función? Por favor, explíquelo con imágenes si es posible.

Answer 1

Considere un $n$ -(dos dimensiones en la imagen), y que $f(\vec x)$ sea una función escalar no constante, como una distribución de temperatura en su caso. Sea $\vec y(t)$ sea cualquier curva en el espacio tal que la función $f(\vec y(t))=c$ es constante a lo largo de esa trayectoria (las líneas de color).

Ahora calcula el producto escalar $\left\langle ., .\right\rangle$ del vector gradiente $\vec \nabla f$ (las flechas rojas) evaluadas en el punto $\vec y(t)$ con el vector tangente $\vec Y(t):=\frac{\text{d}\vec y(t)}{\text{d}t}$ a lo largo de esa misma curva

$$\left\langle \vec Y(t), \left(\vec\nabla f\right)_{\vec y(t)}\right\rangle :=\sum_{i=1}^n\ Y^{\ i}(t)\left(\nabla_i f\right)_{\vec y(t)}=$$ $$=\sum_{i=1}^n \frac{\text{d}y^i(t)}{\text{d}t}\left(\frac{\partial f}{\partial y^i}\right)_{\vec y(t)} =\frac{\text{d}f(\vec y(t))}{\text{d}t} =\frac{\text{d}c}{\text{d}t} =0.$$

El resultado de que el producto escalar de estos dos vectores es cero significa que el gradiente $\vec \nabla f$ es siempre ortogonal a la dirección en la que la función no cambia, es decir $\vec Y(t)$ . Por lo tanto, apunta en la dirección del cambio máximo. Se puede ver claramente la ortogonalidad en la imagen.

Y si la función cambia rápidamente con respecto a las coordenadas espaciales, entonces los componentes del gradiente $\nabla_i f\equiv\frac{\partial f}{\partial y^i}$ y por lo tanto todo el vector de gradiente será grande.

Obsérvese también cómo la dimensión $n$ no se utilizó de manera esencial para derivar la declaración.

Answer 2

Echa un vistazo a http://en.wikipedia.org/wiki/Del .

Del, o $\nabla$ es una generalización del gradiente a más de una dimensión. En una dimensión $\nabla$ es el mismo que el gradiente.

Answer 3

La ecuación

${\rm d}T~=~ \nabla T \cdot {\rm d}{\bf r}$ ,

dice que el cambio en T, a saber ${\rm d}T$ es el producto escalar de 2 vectores, $\nabla T$ et ${\rm d}{\bf r}$ que también puede escribirse como la magnitud del primer vector por la magnitud del segundo vector por el coseno del ángulo entre ellos.

${\rm d}T~=~ |\nabla T| |{\rm d}{\bf r}|\cos\theta$ .

Supongamos ahora que fijamos la longitud del vector de desplazamiento infinitesimal, pero que podemos moverlo cambiando su dirección, y por tanto cambiando $\theta$ . Usted nota que $dT$ es máximo si $\theta$ es $0$ .

$\theta=0$ significa que ambos vectores tienen la misma dirección, y como $d{\bf r}$ es el vector de desplazamiento, entonces en este caso se mueve a lo largo de la misma dirección de $\nabla T$ que hace $dT$ máximo.

Por lo tanto, se puede interpretar $\nabla T$ como el vector cuya dirección es la dirección a lo largo de la cual el cambio de la función $T$ es máxima.

Answer 4

A partir del cálculo elemental, el total diferencial de una función $f(x_1, x_2,...x_n)$ viene dada por $$\begin{align*}df &= \frac {\partial f}{\partial x_1}dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2} dx_2~...+\frac{\partial f} {\partial x_n} dx_n\\&=\nabla f\cdot\vec {dx} \end{align*}$$

Para $df = 0$ , $\nabla f$ y el correspondiente diferencial $\vec {dx}_{min}~~$ son, por tanto, ortogonales entre sí, ya que su producto punto es cero. La diferencial $\vec{dx}_{max}$ ortogonal a $\vec {dx}_{min}$ maximiza $df$ , lo que significa que $\vec{dx}_{max}$ es paralelo a $\nabla f$ . Así que podemos escribir $$\begin{align*}df_{max} &= \nabla f\cdot\vec {dx}_{max}\\ &= |\nabla f||\vec {dx}_{max}|\\ |\nabla f| &= \frac {df_{max}} {|dx_{max}|}\end{align*}$$

Por lo tanto, $\nabla f$ es un vector con una magnitud igual al cambio máximo en $df$ wrt $|dx|$ y una dirección a lo largo de $\vec {dx}_{max}$

Answer 5

Gradiente como $\nabla T$ se refiere a la derivada vectorial de funciones de más de una variable. Físicamente, explica la tasa de cambio de la función bajo la operación de Gradiente.

$\nabla T$ es un vector que apunta en la dirección de mayor incremento de la función. La dirección es cero en el mínimo local y el máximo local.

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Significado físico de la ecuación ${\rm d}T~=~ \nabla T \cdot {\rm d}{\bf r}$ :
${\rm d}T$ es la proyección de $\nabla T$ en dirección a ${\rm d}{\bf r}$ .