Rompecabezas de probabilidad que las raíces de la unidad

Question

Problema: Que $v$ $w$ ser raíces de $z^{1997} = 1$ elegido al azar (en forma independiente y uniformemente). ¿Cuál es la probabilidad que $|v + w| \ge \sqrt{2 + \sqrt 3}$?

Este problema viene de la AIME de 1997.

Answer 1

Por simetría, podemos tomar $v=1$. Luego dejamos $w=\exp(i \theta)$ tenemos $$|v+w|=|1+\exp(i \theta)|=|1+\cos \theta + i \sin \theta|=\sqrt{(1+\cos \theta)^2+\sin^2 \theta}=\sqrt {2+2\cos \theta}$$ So we need $\cos \theta \gt \frac {\sqrt 3}2$ or $-\frac \pi 6\lt \theta \lt \frac \pi 6$ This gives $166$ choices for $w$ on each side of $1$, plus $1$ itself, for a chance of $\frac{333}{1997}$