Si $\sum{a_k}$ converge, entonces $\lim ka_k=0$.

Question

Yo quiero probar la siguiente declaración:

Supongamos que $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ converge, donde $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}\subseteq\mathbb{R}$ es monótono. A continuación,$\displaystyle\lim_{k\to\infty}ka_k=0$.

Creo que tenemos varios casos.

Por ejemplo, si $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ es monótona creciente y existe $k$ tal que $a_k>0$, entonces obviamente $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ no es convergente.

Entonces, podríamos concluir que si algunos de $a_k>0$, entonces podemos suponer que $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ es monótona decreciente. Por el mismo argumento, podemos concluir que si algunos de $a_k<0$ $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ debe ser monótona creciente.

Así que, creo que sólo necesita para cuidar de el caso de que $a_k\ge 0$ por cada $k\in\mathbb{N}$ $(a_k)_{k\in\mathbb{N}}$ es monótona decreciente (el otro caso sería simétrica). Cualquier sugerencia para demostrar esto? He estado pensando mucho ot tiempo...

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $\{a_n\}$ monótona decreciente con $a_n \geq 0$. Por criterio de Chauchy para convergencia existe $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $n+1 > n_0$ tenemos

$$\frac{2n \ a_{2n}}{2} = n\ a_{2n} \leq \sum_{j=n+1}^{2n} a_{2n} \leq \sum_{j=n+1}^{2n} a_{j} < \epsilon$$

Entonces $\lim 2n \ a_{2n} = 0 $. Ahora vamos a mostrar que la parte impar también es cero. Tenemos entonces que $a_{2n+1} \leq a_{2n}$

$$0 < (2n+1)a_{2n+1} \leq 2n\ a_{2n} + a_{2n}$$

Usando el teorema de compresión que tenemos que $\lim (2n+1)a_{2n+1} = 0$. Ahora como el límite de impares e incluso subsecuencias de $\{na_n\}$ es cero, entonces tenemos el resultado.