Conectado simplemente variedades cuasi-proyectivas en característica positiva

Question

Estoy buscando ejemplos de variedades (cuasi-proyectivos) no proyectivas $X$ definida sobre un campo de característica positiva, con grupo fundamental trivial étale.

Es bien sabido que el grupo fundamental del étale en características positivas es un objeto muy difícil, sobre todo así en el caso no proyectivas debido a la ramificación posiblemente silvestre en el infinito. No sé incluso si hay ejemplos de la clase anterior. ¿Conoce esto?

Answer 1

Esta es una respuesta a Pete pregunta simplemente conectado afín variedades (no puedo ponerlo en un comentario debido a la limitación de espacio).

Creo que en característica positiva $p$, no afín irreductible variedad $X$ de la dimensión positiva es simplemente conectado. Podemos suponer $X=\operatorname{Spec}(A)$ integral debido a que $\pi_1$ es insensible a nipotent elementos (SGA IX.4.10). Deje $k[t_1,\ldots, t_d] \subseteq A$ ser una extensión finita con grado mínimo $[k(A):k(t_1,\ldots, t_d)]$. Considerar la étale cubierta $Y\to \mathbb A^d_k= \operatorname{Spec}(k[t_1,\ldots, t_d])$ definido por $s^p-s=t_1$. A continuación, $X\times_{\mathbb A^d_k} Y\to X$ es un étale cubierta de grado $p$. Como $k(Y)$ $k(X)$ son linealmente disjuntos más $k(t_1,\ldots, t_d)$ ($k(Y)$ es de Galois sobre$k({\bf t}):=k(t_1,\ldots, t_d)$$k(Y)\cap k(X)=k({\bf t})$), el producto tensor $k(Y)\otimes_{k({\bf t})} k(X)$ es un campo. Esto implica que $X\times_{\mathbb A^d_k} Y$ está conectado.

Answer 2

$\mathbb{P}_k^1$, sobre un campo algebraico cerrado, es un ejemplo. Puede adaptar la prueba que $\mathbb{Q}$ no tiene ninguna unramified extensiones para mostrar que $k(t)$ no tiene ninguna extensiones unramified.

Answer 3

He aquí una observación. Es una generalización de un teorema de Katz-Lang dada por Szamuely y Spieß que para un cuasi-proyectiva variedad, más de un perfecto campo de $k$, el abelianised domar grupo fundamental se encuentra en la siguiente secuencia exacta

$0\rightarrow T \rightarrow \pi_1^{t,ab}(X) \rightarrow T(Alb_X)\rightarrow 0$

donde $T$ es un grupo relacionado con la torsión de los subgrupos en la Nerón-Severi grupo $NS(X)$ $T(Alb_X)$ es el total de Tate módulo de la generalizada Albanese variedad de $X$. La definición de domar cubre intenta controlar exactamente este salvaje ramificación en el infinito (me.e control de la función de campo de los puntos en $\mathfrak{X}\setminus X$ donde $\mathfrak{X}$ es el correspondiente proyectiva). Usted puede encontrar más en Szamuely del nuevo libro, por ejemplo.

Answer 4

Es una consecuencia directa de Abhyankar de la Conjetura (que fue demostrado por Raynaud y Harbater) que si $k$ es algebraicamente cerrado campo de la característica $p > 0$, entonces no afín a la curva de $X_{/k}$ ha trivial etale grupo fundamental. (Tenga en cuenta que para las curvas, afín = cuasi-proyectiva, no proyectiva, por Riemann-Roch.)

Tengo algunas notas de la conferencia sobre este tema a partir de años atrás:

http://math.uga.edu/~pete/fundincharp.pdf

(En contraste a lo que dice en la primera página, que son desde 2002.)

Anexo: Los comentarios de arriba a dar un montón de ejemplos de no-proyectiva cuasi-proyectiva variedades con trivial etale grupo fundamental de la característica $p$ (o realmente en el carácter quelconque). Una pregunta interesante que se dejan abiertos en estos ejemplos es si hay alguna (no trivial) simplemente conectado afín variedades en el carácter $p$. Como he dicho, la respuesta es "no", en dimensión uno.