Demostrar que un triángulo es equilátero dada la condición $al_a^2+bl_b^2+cl_c^2=9R\Delta$

Question

$ABC$ es un triángulo, con $l_a$ , $l_b$ , $l_c$ como bisectrices de ángulos, $R$ como circunradio y $\Delta$ como área, tal que:

$$al_a^2+bl_b^2+cl_c^2=9R\Delta$$

¿Es cierto que $ABC$ ¿es equilátero?

No estoy seguro de cómo abordar este problema. ¿Ideas, alguien? :)

Answer 1

Utilice el hecho de que $l_a$ divide el lado $BC = a$ (en $A'$ ) en la proporción $BA':CA' = b:c$ y de Teorema de Stewart tenemos $\displaystyle l_a^2 = bc - \frac{a^2bc}{(b+c)^2}$ .

Así, $\displaystyle \sum\limits_{cyc} al_a^2 = 3abc - abc\sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{(b+c)^2} = 9R\Delta = \frac{9}{4}abc \implies \sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{(b+c)^2} = \frac{3}{4}$

Ahora por Cauchy-Schwarz: $\displaystyle \sum\limits_{cyc}\frac{a^2}{(b+c)^2} \ge \frac{1}{3}\left(\sum\limits_{cyc}\frac{a}{b+c}\right)^2$ y $\displaystyle R.H.S. \ge \frac{3}{4}$ de la desigualdad de Nesbitt.

La igualdad se mantiene si $a=b=c$ . Por lo tanto, el triángulo debe ser equilátero.

Answer 2

Escriba todo en términos de $a,b,c$ .

Algunas fórmulas clave, $R=\frac{abc}{4\Delta}$ Esto viene de $\frac{a}{\sin(A)}=2R$ y $\Delta=\frac{1}{2}bc\sin(A)$ .

$l_a^2=c^2+(\frac{ab}{b+c})^2-2c(\frac{ab}{b+c})\cos(B)$ Es una combinación de la ley del coseno y el teorema de la bisectriz del ángulo. Usa la ley del coseno de nuevo para expandir $\cos(B)$ . Escribe fórmulas similares para $l_b$ y $l_c$ El resto de la pregunta es sólo para comprobar el álgebra.