De hecho, todas, a excepción quizás de la propiedad (2) puede ser probado sin el análisis funcional. Esto conduce a una completamente determinista algoritmo para calcular una base para la doble cono (no es un muy buen algoritmo, aunque como su complejidad
es exponencial en la base inicial de tamaño).
En la secuela de la PCR es la abreviatura de "racional convexo poliédrico
cono".
Casi todo se reduce a la iteración de la siguiente lema:
Fundamental lema. Deje $\sigma={\sf Cone}(u_1,\ldots,u_k)$ ser una RPC de cono. Vamos
$w\in{{\mathbb Z}^d}$, e $\sigma_w=\lbrace x\in\sigma \,|\, \langle x,w\rangle\ \geq 0\rbrace$. Entonces
$\sigma_w$ es de nuevo un RPC de cono. De hecho, una forma completamente explícita de generar el sistema puede ser
encuentra de la siguiente manera. Vamos
$$
\begin{array}{lcl}
I_{-} &=& \big\lbrace i \ \big|\ \langle u_i,w\rangle \ < 0 \big\rbrace \\
I_{0} &=& \big\lbrace i \ \big|\ \langle u_i,w\rangle \ = 0 \big\rbrace \\
I_{+} &=& \big\lbrace i \ \big|\ \langle u_i,w\rangle \ < 0 \big\rbrace \\
\end{array}
$$
A continuación, $\sigma_w={\sf Cone}({\cal F})$ donde
$$
{\cal F}=\big\lbrace u_i\ \big|\ i \en I_0 \copa I_{+}\big\rbrace \copa
\big\lbrace \langle u_j,w\rangle u_i-\langle u_i,w\rangle u_j\ \big| \ i \I_{-}, j\I_{+}\big\rbrace
$$
Para mostrar este fundamentales lema necesitamos otro :
Lema 1. Deje $n,m \geq 1$ ser de dos números enteros. Deje $x_1,x_2,\ldots,x_n$
y $y_1,y_2,y_3, \ldots ,y_m$ ser no negativo de los números. A continuación, el
siguientes son equivalentes :
(i) $x_1+x_2+ \ldots +x_n \geq y_1+\ldots +y_m$
(ii) No existe no negativo números de $\xi_k(1\leq k\leq n)$ y
$t_{ij}(1\leq i \leq n,1\leq j \leq n)$ tal que
$x_i=\xi_i+\sum_{j}t_{ij}$ por cada $i$ y
$y_j=\sum_{i}t_{ij}$ por cada $j$.
La prueba del lema 1. La dirección (ii)$\Rightarrow$(i) es fácil porque
bajo la hipótesis de (ii) tenemos
$$
\big(\sum_{i} x_i\big)-\big(\sum_{j} y_j\big)=
\big(\sum_{i} \xi_i\big) \geq 0
$$
Por el contrario, vamos a demostrar (i)$\Rightarrow$(ii) por inducción sobre
$N=n+m$.
El caso base $N=2$ es fácil : tenemos $x_1\geq y_1$ y sólo necesitamos tomar
$\xi_1=0,t_{11}=y_1$.
Ahora supongamos que la propiedad es cierto a nivel de $N$ ; vamos a demostrar que todavía
se mantiene a nivel de $N+1$. Así que supongo
$x_1+x_2+ \ldots +x_n \geq y_1+\ldots +y_m$ para algunos no negativo
los números de $x_1,x_2,\ldots,x_{n},y_1,y_2,\ldots,y_m$,$n+m=N+1$. Hay dos casos.
Caso 1. $x_n \geq y_m$. Entonces podemos escribir $x_n=y_m+X_n$ donde
$X_n$ es no negativa. Entonces tenemos una desigualdad con una
variable menos : $x_1+x_2+\ldots+x_{n-1}+X_n \geq
y_1+y_2+\ldots +y_{m-1}$ y podemos aplicar la hipótesis de inducción.
Caso 2. $y_m \geq x_n$. Entonces podemos escribir $y_m=x_n+Y_m$ donde
$Y_m$ es no negativa. Entonces tenemos una desigualdad con una
variable menos : $x_1+x_2+\ldots+x_{n-1} \geq
y_1+y_2+\ldots +y_{m-1}+Y_m$ y podemos aplicar la hipótesis de inducción.
Esto concluye la prueba del lema 1.
La prueba del lema fundamental del lema 1. Deje $\tau={\sf Cone}({\cal F})$.
Como todos los vectores en $\cal F$ son no negativos combinaciones lineales
de la $u_i$, cuyo producto escalar con
$w$ es no negativa, tenemos ${\cal F} \subseteq \sigma_w$ y por lo tanto
$\tau \subseteq \sigma_w$. Por el contrario, vamos a $v\in\sigma_w$. Pongamos
$n=|I_+|,m=|I_{-}|,p=I_{0}$. El reordenamiento de las $u_i$ si es necesario,
podemos suponer sin pérdida de
$I_+=[1,n],I_-=[n+1,n+m],I_0=[n+m,d]$. Entonces, hay no negativo de los coeficientes de
$a_1,a_2,\ldots, a_n,b_1,b_2,\ldots, b_m,c_1,c_2, \ldots, c_p$ tal que
$$
v=\sum_{i=1}^{n} a_iu_i-
\sum_{j=1}^{m} b_ju_{n+j}+
\sum_{k=1}^{p} c_ku_{n+m+k} \etiqueta{1}
$$
Entonces, la condición de $\langle v,w\rangle \geq 0$ puede ser expresado como
$$
\sum_{i=1}^{n} a_i\langle u_i,w\rangle-
\sum_{j=1}^{m} b_j\langle u_{n+j},w\rangle \geq 0 \etiqueta{2}
$$
O, si la ponemos a $x_i=a_i\langle u_i,w\rangle$$y_j=b_j\langle u_{n+j},w\rangle $,
$$
\sum_{i=1}^{n} x_i-
\sum_{j=1}^{m} y_j \geq 0 \etiqueta{3}
$$
Esta es la hipótesis de que (i) en el lema 1, así que vamos a
$\xi_k(1\leq k\leq n)$ $t_{ij}(1\leq i \leq n,1\leq j \leq n)$
como en (ii) de este lema. Entonces tenemos
$$
\begin{array}{lcl}
a_i&=&\frac{\xi_i+\sum_{j}t_{ij}}{\langle u_i,w\rangle } (1\leq i\leq n),\\
b_j&=&\frac{\xi_i+\sum_{i}t_{ij}}{\langle u_{n+j},w\rangle } (1\leq j\leq m)
\end{array} \etiqueta{4}
$$
Si ponemos $z_i=\frac{\xi_i}{\langle u_i,w\rangle }$ y
$s_{ij}=\frac{t_{ij}}{\langle u_i,w\rangle\,|\langle u_{n+j},w\rangle|}$, luego tenemos
$$
v=\sum_{i=1}^n z_i u_i
+\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m
s_{ij}(\langle u_{n+j},w\rangle u_i-\langle u_i,w\rangle u_{n+j})+
\sum_{k=1}^{p} c_ku_k \etiqueta{5}
$$
que es claramente un elemento de $\tau$. Esto concluye la prueba
fundamentales de la lema.
La prueba de la propiedad (1) de fundamentales lema Aviso que
${\cal C}_0={\mathbb R}^d$ es de por sí una RCP cono (puede ser escrito como ${\sf Cono}(e_1,-e_1,e_2,-e_2,
\ldots ,e_d,-e_d)$ where $(e_1,e_2,\ldots ,e_d)$) es la canónica
base de ${\mathbb R}^d$). A continuación, vamos a
$$
{\cal C}_i=\lbrace v\in {\mathbb R}^d \ | \
\langle v,u_j\rangle \ \geq 0 \ (1\leq j \leq i)\rbrace
$$
Repitiendo el lema fundamental, vemos sucesivamente que ${\cal C}_0,
{\cal C}_1,\ldots,$ are all RCP cones. In the end ${\sigma}^\vee={\cal C}_k$
es un RCP de cono.
