¿Cómo puedo encontrar el valor de $a^n+b^n$ dado el valor de $a+b$ , $ab$ y $n$ ?

Question

Me han dado el valor de $a+b$ , $ab$ y $n$ . Tengo que calcular el valor de $a^n+b^n$ . ¿Cómo puedo hacerlo?

Me gustaría encontrar una solución general. Porque el valor de $n$ , $a+b$ y $ab$ puede ser tan grande como $10^9$ . Entonces tengo que calcular sólo los últimos 10 dígitos.

NB: He encontrado este problema en la categoría de Expongación de la Matriz.

Answer 1

Lograr la resistencia realmente baja de manera confiable es un problema importante. Hasta que no existan superconductores a temperatura ambiente, seguirá siendo un gran problema.

Muchas fuentes de alimentación de PC alimentarán alta potencia con bajos voltajes. Tienen un cable sensorial en el carril de alimentación que está unido al extremo del cable. Este se alimenta al circuito regulador para aumentar el voltaje para compensar la caída de voltaje por el alto consumo de corriente y la resistencia interna del cable. Sin embargo, la placa madre moderna obtiene la mayor parte de su energía del riel de mayor voltaje para evitar las pérdidas y regularlo internamente.

Las cargas de alto amperaje también necesitan conductores resistentes que no se calienten y se derritan bajo esa alta corriente. Si el conductor se daña de alguna manera, ese punto tendrá mayor resistencia y se calentará más.

Answer 2

Llama a $s=a+b$ , $p=ab$ y $s_n=a^n+b^n$ para cada $n\geqslant0$ Entonces $ss_n=s_{n+1}+ps_{n-1}$ para cada $n\geqslant1$ por lo que se puede calcular recursivamente $(s_n)_{n\geqslant0}$ usando $$ s_0=2\qquad s_1=s\qquad s_{n+1}=ss_n-ps_{n-1}\ (n\geqslant1). $$ Alternativamente, los vectores $v_n=(s_n,s_{n-1})$ son tales que $v_{n+1}=v_nM$ donde $M=\begin{pmatrix}s & 1 \\ -p & 0\end{pmatrix}$ Por lo tanto $v_n=(s,2)M^{n-1}$ para cada $n\geqslant1$ es decir, si $M^k=\begin{pmatrix}x_k & y_k \\ z_k & t_k\end{pmatrix}$ Entonces $s_n=sx_{n-1}+2z_{n-1}$ o $s_n=sy_n+2t_n$ .

Answer 3

Considere la matriz diagonal $M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{pmatrix}$ .

Conoces su rastro $a+b$ y determinante $ab$ así que sabes que su polinomio mínimo $M^2-(a+b)M+ab$ .

Quieres encontrar $tr(M^n)$ . Dado que el rastro es lineal, la secuencia $(t_n = tr(M^n))$ satisface la misma relación lineal de recurrencia que $M$ : $t_{n+2} = (a+b). tr_{n+1} - ab. t_n$

Ahora, considera $X_n = \begin{pmatrix}t_n \\ t_{n+1} \end{pmatrix}$ . Usted encuentra que $X_{n+1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -ab & a+b\end{pmatrix} X_n$ . Desde $X_0 = \begin{pmatrix}2 \\ a+b \end{pmatrix}$ obtienes $X_n = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -ab & a+b\end{pmatrix}^n \begin{pmatrix}2 \\ a+b \end{pmatrix}$ .

Ahora, esta es una matriz que realmente conoces, así que puedes calcular su $n$ La potencia (usar la exponenciación binaria para ser rápido), aplicarla a $X_0$ y leer la primera coordenada para obtener $t_n$

Answer 4

Creo que la mejor manera es usar $a+b$ y $ab$ (2 ecuaciones 2 incógnitas) para averiguar lo que $a$ y $b$ son y luego simplemente toman sus poderes.

Answer 5

Solución 1 (esta es la misma recurrencia que proporcionó)

Si $n=0$ Entonces $a^0+b^0=2.$

Si $n=1$ Entonces $a^1+b^1=a+b$ un valor que usted conoce.

Si $n\geq 2$ Entonces $a^n+b^n=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+b^{n-2})$ que puedes calcular recursivamente usando los valores conocidos para $a+b$ y $ab$ .

Solución 2 (inspirado por la respuesta de mercio)

Como sabes $a+b$ y $ab$ puedes encontrar las raíces del polinomio $x^2-(a+b)x+ab$ que son precisamente $a$ y $b$ . Ahora, ya que también sabes $n$ puedes calcular $a^n+b^n$ .