¿Órdenes únicamente describir a un grupo?

Question

Posibles Duplicados:
Tres grupos finitos con el mismo número de elementos de cada pedido

Con cualquier grupo finito $G$ me puede asociar un conjunto múltiple $S_G = \{\text{ord}(g) : g \in G\}$. Es el mapa de $G \mapsto S_G$ inyectiva? Existe un algoritmo para generar una tabla de multiplicación de $G$$S_G$? Dado cualquier conjunto múltiple $S$, ¿qué tan difícil es para comprobar si representa algún grupo en este camino?

Después de haber probado un par de grupos, no se ve como una inyección, pero una prueba formal o la construcción de un (fuerza bruta a un lado) se me escapa.

Answer 1

Para un simple contraejemplo, $\mathbb{Z}_4\times \mathbb{Z}_4$, $\mathbb{Z}_4\rtimes \mathbb{Z}_4$, y $Q_8\times \mathbb{Z}_2$ todas tienen las misma multiconjuntos de elemento pedidos. En general, la lista de pedidos de elemento no te dice mucho acerca de la estructura de un grupo.

Dirigí tu segunda pregunta aquí y tu tercera pregunta aquí.