¿Cuál es el nombre de un bijection donde los pares de elementos de mapa para cada uno de los otros?

Question

Primero, un poco de contexto. Alrededor de un cuarto de hora atrás me encontré con uno de esos "Internet acertijos matemáticos" en Facebook que decía:

Si 1 = 5, 2 = 10, 3 = 15, y 4 = 20 5 = ?

La respuesta iba a ser 1, como ya habíamos indicado. Pero, por supuesto, suponiendo que la regla es x = 5, entonces 5 es igual a 1 y 25, así como 125, 625, 3125, etc.

Esto me puso a pensar, podemos definir una relación como la que pide la pregunta de modo que 5 no se asignan a los 25, pero x todavía se asigna a 5x en general? Lo que me dieron fue la siguiente:

$x = \left\{ \begin{matrix} 5x & \text{the prime factorization of } x \text{ has an even power of 5} \\ x/5 & \text{the prime factorization of } x \text{ has an odd power of 5} \end{matrix} \right.$

Estoy bastante seguro de que este es un bijection. Pero si lo es, no sé si hay un nombre especial para bijections como este, que el mapa de pares de valores para cada uno de los otros.

Básicamente, ¿cuál es el nombre para el tipo de bijection $f: D \to D$, tal que para cualquier $a, b \in D$ si $f(a) = b$,$f(b) = a$, e $a \neq b$?

Answer 1

Un bijection se llama involución. Es un bijection $f$ tal que $f(f(x))=x$.

Tenga en cuenta que la premisa $f(f(x))$ sólo es cierto para un bijection, es decir, si $f$ es cualquier función tal que $f(f(x))=x$ $f$ es, naturalmente, un bijections, desde su izquierda y derecha inversa es en sí mismo.

Creo que no hay un nombre para una involución que no tiene puntos fijos, es decir, donde $f(x)\neq x$ todos los $x$, por lo que siempre conseguir un par.

Puede que desee llamar a un "libre de involución". En la involución puede ser visto como un grupo de acción de $\mathbb Z_2$ sobre un conjunto $X$. Un "libre" grupo de acción es uno, sin estabilizadores, es decir, para cada $x\in X$, $\{g:gx=x\}=\{1\}$.

Answer 2

Un mapa tal que $f(f(a))=a$ por cada $a$ a veces se llama una involución, y una involución sin duda tiene la propiedad de que cada vez que $f(a)=b$, $f(b)=a$.

Yo no soy de los que requieren $f$ a ser un bijection, pero resulta ser uno de todos modos, ya que es su propia función inversa.

Involuciones son estudiados en forma de anillo en la teoría, donde los anillos con involuciones pop-up de forma natural, especialmente en las álgebras de operadores. Uno de esos involución está dada por la transposición mapa completo del anillo de las matrices cuadradas. Otro buen ejemplo es el complejo conjugado de la cartografía en el anillo de los números complejos.

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Actualización: como para su incorporación a la cuestión de no tener puntos fijos, no he escuchado un nombre especial que se utiliza para ellos. Como se puede ver en los dos ejemplos que he mencionado, es muy común y unalarming para una involución tener puntos fijos. Lo que es interesante es que la involución es el mapa de identidad cuando se limita a los puntos fijos.