$\int_a^b f(x) g'(x) dx = 0$ Implica que$f$ es constante

Question

Dado $f$ es continua en $[a,b]$, $\forall g$ que es continuamente una función derivable en a$[a,b]$,$g(a)=g(b)=0$, la siguiente ecuación se satisface:

$\int_a^b f(x) g'(x) dx = 0$.

Quiero mostrar que la $f$ es una constante.

Esta es una pregunta similar a esta, pero que duda preguntar $\int_a^b f(x) g(x) dx = 0$.

He tratado de tomar $g = (x-a)(b-x)$, pero ya no sé si $f(x)$ es diferenciable, no puedo tomar $g = f(x-a)(b-x)$ como en esa pregunta.

Gracias.

Answer 1

Dejar $I=\int_a^b f(s)ds$.

También vamos a$$g(x) = \int_a^x \left(f(s) - \frac{I}{b-a}\right)ds.$ $ Claramente,$g(a)=g(b)=0$. Por encima de eso$g'(x) = f(x)-\frac{I}{b-a}$.

Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz esto implica que las funciones$$\int_a^b f(x)g'(x)dx = \int_a^bf^2(x)dx-\frac{I^2}{b-a},$ y$$\int_a^bf^2(x)dx = \frac{1}{b-a}\left(\int_a^bf(x)dx\right)^2.$ son linealmente dependientes, por lo tanto$x\to f(x)$ es constante.