¿Por qué si$n \mid m$, entonces$(a^n-1) \mid (a^m-1)$?

Question

Mi libro de teoría de números dice que para$n, m$ ser enteros positivos y$a>1$, entonces

$(a^n -1)\mid(a^m -1)$ si y solo si $n\mid m$.

Entiendo la prueba solo si parte, pero en si parte el autor dice "está claro". Sin embargo, un tratado de probar que, pero un get atascado. ¿Puedes dar una pista?

Answer 1

Por lo tanto, desea mostrar$(a^n-1) \mid (a^m-1)$ if$n \mid m$. Si$n \mid m$ entonces$m = nk$ para algún entero$k$, por lo que desea mostrar$(a^n - 1) \mid (a^{nk}-1)$.

Ahora use el hecho de que$1^k = 1$ y recuerde que hay una factorización para$x^k - y^k$; Uno de los términos será$a^n - 1$.

Déjeme saber si necesita más aclaraciones.

Answer 2

Para una dirección que hemos

Sugerencia: tenga en cuenta que $$a^n-1\mediados de los a^{nk}-1$$

---

En el otro sentido, supongamos que $$a^n-1\mediados de los a^m-1\etiqueta{1}$$ Deje $m=qn+r$ donde $0\le r\lt n$. Sabemos que $$a^n-1\mediados de los a^{qn}-1\etiqueta{2}$$ Restar $(2)$ $(1)$ para obtener $$a^n-1\mediados de los a^m-^{qn}\etiqueta{3}$$ Desde $\gcd(a^n-1,a)=1$, $(3)$ implica $$a^n-1\mediados de los a^r-1\etiqueta{4}$$ Desde $0\le r\lt n$, $(4)$ implica que $r=0$ (de lo contrario, una mayor entero positivo que divide a una más pequeña). Desde $r=0$, $m=qn$; es decir, $n\mid m$.

Answer 3

Si$n|m$, digamos$m = dn$, entonces $$a ^ m-1 = (a ^ n) 1} (a ^ n) ^ {d-2} \ ldots a ^ n 1)$$ se puede comprobar directamente o se sigue de establecer$\alpha = a^n$ y$N = d$ en $$\ alpha ^ N-1 = (\ alpha-1) (\ alpha ^ {N-1} \ alpha ^ {N-2} \ ldots \ alpha 1).$$

Alternativamente, también podría observar que todas las raíces complejas$\zeta$ de$x^n - 1$ deben ser raíces de$x^m - 1$ if$n\mid m$, ya que$\zeta^n = 1 \implies \zeta^m = (\zeta^n)^d = 1$.