Son los enteros modulo 4 un campo?

Question

Básicamente son los enteros mod 4 un campo? Quiero saber porque estoy leyendo un texto y tiene un problema suponiendo que los enteros modulo cualquier número son un campo

Answer 1

Los enteros mod 4, no es un campo, ya que $2\times 2 = 4 = 0\mod 4$, lo $2$ no tiene un inverso multiplicativo. Por esta razón, $\mathbb{Z}/p$ un campo sólo al $p$ es un primo.

También es cierto que hay un campo finito con el fin de cualquier potencia principal, $\mathbb{F}_q$ donde $q=p^n$ $p$ de una prima. Pero $\mathbb{F}_q$ no $\mathbb{Z}/q$ si $n=1$. Por lo $\mathbb{Z}/2$ $\mathbb{F}_2$ son el mismo anillo, sino $\mathbb{Z}/4$ $\mathbb{F}_4$ no lo son.

Entonces, ¿qué es $\mathbb{F}_4$? Bien wikipedia tiene algunos detalles, pero en resumen, $\mathbb{F}_4 = \mathbb{F}_2[x]/(x^2+x+1) = \{0,1,x,x+1\}$. Tenga en cuenta que el grupo multiplicativo de los elementos es distinto de cero, el ciclo de los tres grupos de elementos, mientras que el distinto de cero elementos de $\mathbb{Z}/4$ no forman un grupo en absoluto, ya que no está cerrado bajo la multiplicación. También todos los elementos de a $\mathbb{F}_4$ son de orden 2 en adición, mientras que $\mathbb{Z}/4$ tiene dos elementos de orden 4. Así que estos anillos no son isomorfos.

Answer 2

No es un campo, porque$2$ como no inversa para la ley de multiplicación:

ps

Los enteros mod$$2\times 0=0,\quad 2\times 1=2,\quad 2\times 2=0,\quad 2\times 3=2.$serán un campo si, y sólo si,$n$ es un número primo.

Answer 3

Si$q=p^n$, entonces$\mathbf F_q$ denota el campo con$q$ elementos.

Debes saber que para cualquier número$n\ge 1$, existe un campo finito con elementos$p^n$, y este campo es único hasta un isomorfismo.

Es incluso único en el sentido aún más restrictivo: un campo con elementos$p^n$ es único dentro de un cierre algebraico dado del campo principal$\mathbf F_p$. Además, para dos de estos campos finitos,$$\mathbf F_{p^m}\subseteq\mathbf F_{p^n}\iff m\mid n.