Demostrar que la energía funcional no puede ser minimizada

Question

Como ejercicio quiero mostrar que para

$$E(v)=\int_0^1 \frac 1 2 x^5 (v'(x))^2 - v(x) dx$$

y $H_0^1(0,1) = \{ v \in H^1(0,1) : v(0)=v(1)=0 \}$ no existe ninguna solución al problema $$\min_{v\in H_0^1} E(v).$$

En realidad no tengo ni idea de cómo encontrar (¿o construir?) dicha función $v$ con la que puedo probar esto. ¿Quién puede ayudar?

Answer 1

Respuesta indirecta:

La ecuación de Euler Lagrange para $E$ es $$\left(x^5 \nu'\right)' + 1 = 0$$ lo que implica $$x^5 \nu' = -x + C \implies \nu' = \frac{-x + C}{x^5}$$ que podemos integrar y ver que no es compatible con el requisito de que $\nu(0) = \nu(1) = 0$ .

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Respuesta directa:

Podemos construir explícitamente una secuencia $\nu_k$ tal que $E_k = E(\nu_k)\searrow -\infty$ . Sea $\delta_k = \frac{1}{2^{5k}}$ . Sea $h_k = 2^{6k}$ . Sea $a_k = 2^{-4k} - \delta_k$ y $b_k = 2^{-4k}$ . Tenga en cuenta que para $k \geq 1$ tenemos $0 < a_k < b_k$ . Sea $\nu_k$ sea la función lineal a trozos definida por $$\nu_k(x) = \begin{cases} 0 & x \not\in (a_k,b_k)\\ \frac{2h_k}{\delta_k}(x-a_k) & x\in (a_k, a_k + \frac12 \delta_k] \\ \frac{2h_k}{\delta_k}(b_k - x) & x \in (b_k - \frac12\delta_k, b_k)\end{cases}$$

El gráfico de $\nu_k$ es un triángulo isósceles basado en $(a_k,b_k)$ (así que con la anchura $\delta_k$ ) con altura $h_k$ . Vemos que

$$\int_0^1 \nu_k(x) \mathrm{d}x = \frac12 \delta_k h_k = 2^{k-1}$$

Utilizando que la pendiente de los dos segmentos de la línea son $\pm 2h_k /\delta_k$ tenemos que

$$\int_0^1 x^5 (\nu')^2 \mathrm{d}x \leq b_k^5 \int_{a_k}^{b_k} \frac{4 h_k^2}{\delta_k^2} \mathrm{d}x = 4 b_k^5 h_k^2 \delta_k^{-1} = 2^{2 -20k + 12k + 5 k} = 2^{2 - 3k}$$

Así que

$$E_k \leq 2^{1-3k} - 2^{k-1} \leq 2 - 2^{k-1}$$

Y así tenemos que

$$\lim_{k\to\infty} E_k = - \infty$$

y, por tanto, el funcional no tiene límites por debajo.

Observación: Obsérvese que la sustitución de $\nu_k$ por $-\nu_k$ esto también muestra que el funcional no tiene límites por encima.