Ayúdeme a entender el producto tensor

Question

Tengo varios libros y otra literatura que definen el producto tensor, pero entiendo que en ninguno de ellos. Desde esta realmente le preocupa a uno de los temas, a saber, la comprensión de la construcción de la aritmética y de (?) tensor de productos, lo voy a plantear un par de preguntas aquí en lugar de pedir por separado. No creo que el caso específico de tensoring espacios vectoriales ayuda con la comprensión de la construcción en general, así que mi pregunta va a lidiar con tensoring un derecho $R$-módulo izquierdo $R$-módulo sobre el ring $R$, lo que no asumimos a ser conmutativa.

1) Ahora bien, el primer paso es formar la libre grupo abelian $F(M \times N)$. Nunca he tropezado libre abelian grupos antes de la lectura sobre el producto tensor, pero parece bastante simple. Me corrija si estoy equivocado, pero $F(M \times N) = \{ \sum a_{ij}(m,n) \mid a_{ij} \in \mathbb{Z} \}$, las cantidades van más de todos los $(m,n) \in M \times N$. Pero a algunos autores a decir algo más, que me de confianza es lo mismo, pero sin embargo me confunde. Keith Conrad (asumiendo $R$ es conmutativa) dice $$R=\bigoplus_{(m,n) \in M \times N} R \delta_{(m,n)}$$ without any mention of what $\delta_{(m,n)}$ is, but it's probably similar to what I have in a compendium (which also assumes the ring is commutative), "notation tagging the component that corresponds to the element $(m,n) \M \times N$". What does that even mean, and why is that particular notation only used when $R$ se supone conmutativa?

2) a continuación definimos el subgrupo $S \subset F(M \times N)$ generado por "todos los elementos de los siguientes tres tipos de" $(a,b+b') - (a,b) - (a,b')$ etc. Bien, ¿qué $-$ significa? Es una relación de equivalencia significaba? Si es así, cuando se lo considera equivalente? Sólo he visto a lo largo de las líneas de "definir $x,y$ equivalente si la propiedad $P(x,y)$ sostiene".

3) $M \otimes N$ es un grupo abelian. Bien, entonces, ¿cómo son los elementos de "añadido"? No hay mención de esto está hecho en ninguno de mis literatura, excepto que $a \otimes (b+b') = a \otimes b + a \otimes b'$, pero ¿qué hay de $a \otimes b + c \otimes d$?

4) los llamados elementales puros o tensores. Conrad escribe "Tensores en $M \otimes_R N$ forma $m \otimes n$ son llamados tensores elementales". La primaria tensores abarcan el producto tensor (¿verdad?), pero, ¿qué elementos de $F(M \times N)$ terminan la primaria tensores? Mientras mi compendio (que, como Conrad, asume el anillo de ser conmutativa) también toma nota de primaria tensores, Rotman ("Introducción al Álgebra Homológica"), no asumiendo conmutatividad, no hace ninguna mención de ellos, sino que dice: "Desde $A \otimes_R B$ es generado por los elementos de la forma $a \otimes b$ cada $u \in A \otimes_R B$ tiene la forma $u = \sum_i a_i \otimes b_i$. Esta expresión no es única..." Los otros nombres de "elementary tensor" que Conrad listas no están en el índice de Rotman del libro, por lo que son primarias tensores sólo relevante para tensoring sobre un anillo conmutativo?

Gracias de antemano por cualquier ayuda. He tenido algunos deberes con respecto a los tensores, y yo soy incapaz de dar un primer paso en la respuesta a las preguntas, así que tengo que aprender tensor de productos de alguna manera.

Conrad: http://www.math.uconn.edu/~kconrad/extractos/linmultialg/tensorprod.pdf

Answer 1

Voy a tratar de responder a sus preguntas lo mejor que pueda:

1. Tienes razón acerca de su definición de libre abelian grupo, sólo tiene que utilizar su definición.

2. El subgrupo generado por los elementos es precisamente el conjunto que consta de sumas y los inversos de los elementos de la forma $(a,b+b')-(a,b)-(a,b')$, etc. El $-$ que va con el elemento $(a,b)$, por ejemplo, significa que el inverso aditivo de a$(a,b)$$F(M\times N)$. Desde $F(M\times N)$ es abelian, y tomamos el subgrupo generado por los elementos de arriba, a continuación, dijo subgrupo es normal y lo que si nos rompen $F(M\times N)$ en cosets, esto da una relación de equivalencia en $F(M\times N)$. Explícitamente, si $H$ es el subgrupo $H=\langle (a,b+b')-(a,b)-(a,b'),\mbox{ etc...}:a,b,b'\in M\times N\rangle$ (el más pequeño subgrupo que contiene los elementos definidos), entonces si $x,y\in F(M\times N)$, $x\sim y$ si $x-y\in H$. Cuando nos mod por esta relación de equivalencia (que es el mismo que el cociente $F(M\times N)/H$) que básicamente declarar los elementos que definen a ser 0.

3. Si no existe una clara relación entre el $a,b,c,d$, entonces no hay ninguna manera obvia para agregar $a\otimes b+c\otimes d$. Es justo a la izquierda de eso, y lo vemos como un elemento del producto tensor de todos modos.

4. La primaria tensores provienen de elementos de la forma $(a,b)\in M\times N\subseteq F(M\times N)$. En el cociente de estas se convierten en $a\times b$. El término de la primaria tensor sólo significa que estos son, básicamente, los "bloques de construcción" para el producto tensor. Tiene el derecho de decir que estas generan el producto tensor.

Un poco de motivación para el producto tensor:

Si tenemos el producto $M\times N$, podríamos de alguna manera, como un módulo de $T$ de manera tal que un bilineal mapa de $\phi:M\times N\to P$ se convierte en un $R$-módulo de morfismos $T\to P$. El problema con $M\times N$ es que si $(m,n),(m',n')\in M\times N$ $$\phi((m,n)+(m',n'))=\phi(m+m',n+n')=\phi(m,n+n')+\phi(m',n+n')=\phi(m,n)+\phi(m',n)+\phi(m,n')+\phi(m',n'),$$ which isn't the same as $\phi(m,n)+\phi(m',n')$. The way to fix this is by adding the elements of $M\times N$ a different way and modding out by others. For example, instead of $(m,n)+(m',n')=(m+m',n+n')$, we want $(m,n)+(m',n)"="(m+m',n)$, etc. If we had this then $\phi$ would be a morphism of $R$-modules. The way to get this relation is to declare that $(m,n)+(m',n)-(m+m',n)"="0$, es decir, nos mod a cabo por las relaciones que se pone por encima. Esta es la manera de obtener el producto tensor.

Comentario La motivación para definir el tensor de producto que se pone por encima básicamente caracteriza el producto tensor (este universal es la propiedad que define el tensor de producto).

Answer 2

1) Lo que quiere decir cuando escribe $F_R(M\times N) = \bigoplus R \delta_{(m,n)}$ es que usted está tomando una suma directa de la cantidad de copias de $R$, ya que hay elementos $(m,n) \in M \times N$. Por definición, un elemento en la suma directa de una infinidad de módulos es una finito $R$-combinación lineal de los módulos involucrados (en este caso, todos ellos son copias de $R$), por lo que un elemento genérico en $F_R(M\times N)$ se vería $r_1 \delta_{(m_1,n_1)} + \cdots + r_k \delta_{(m_k,n_k)}$. Si desea, puede ver un elemento como un $R$valores de la secuencia indexados por $M \times N$ con un número finito distinto de cero elementos.

2) El $-$ es el símbolo para el inverso aditivo en el módulo. Pensar en términos de secuencias de arriba, la suma es la suma de las componentes. Entonces lo que hacen es construir el submódulo generado por los elementos de la forma, de modo que se obtiene exactamente el bilinearity relaciones que desee en el cociente de los módulos.

3) El producto tensor está construido como un cociente módulo de $F_R(M\times N)/D$, por lo que el funcionamiento es el habitual coset además: $(a + D) + (b + D) := (a + b) + D$. Si queremos ser explícito, como el anterior, podemos escribir $$(r_1 \delta_{(m_1,n_1)} + \cdots + r_k \delta_{(m_k,n_k)} + D) + (r'_1 \delta_{(m'_1,n'_1)} + \cdots + r'_l \delta_{(m'_l,n'_l)} + D) = (r_1 \delta_{(m_1,n_1)} + \cdots + r_k \delta_{(m_k,n_k)} + r'_1 \delta_{(m'_1,n'_1)} + \cdots + r'_l \delta_{(m'_l,n'_l)}) + D.$$

4) de La escuela primaria, los tensores son aquellos que provienen de los generadores $\delta_{(m,n)} \in F_R(M\times N)$. Los elementos de la forma $r \delta_{(m,n)}$ también reducir a la primaria tensores en el cociente, porque las identificaciones dar $r(m \otimes n) = (rm) \otimes n = m' \otimes n$.

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Está bien la lucha con la construcción del producto tensor en primera, pero hay que tener en cuenta que la construcción no es muy importante; lo que realmente importa es la característica universal del producto tensor, que en esencia establece que bilineal asignaciones $M\times N \rightarrow L$ (o, equivalentemente, lineal asignaciones $M \rightarrow \operatorname{Hom}(N,L)$) son, naturalmente, la misma cosa como lineal asignaciones $M \otimes N \rightarrow L$.

Ver también:-tensor de hom contigüidad.