El problema es que el Prof Otelbaev demostrado exactamente lo declarado por el Instituto Clay de Matemáticas?

Question

Recientemente, matemático Mukhtarbay Otelbaev publicó un documento de la Existencia de una fuerte solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, en el que afirma que él ha solucionado uno de los Problemas del Milenio: la existencia y la tersura de la Ecuación de Navier-Stokes. Por desgracia, el papel está en ruso, pero no puedo leer ruso. Hay un resumen en inglés al final del documento, en el que descubrí que el problema que él demostró ser

Deje $Q \equiv (0,2\pi)^3\subseteq \mathbb{R}^3$ 3 dim dominio, $\Omega=(0,a)\times Q$, a>0.

$\textbf{Navier-stokes problem}$ es encontrar incógnitas: un vector velocidad $u(t) = (u_1(t,x), u_2(t,x), u_3(t,x))$ y un escalar función de presión $p(t,x)$ a los puntos de $x\in Q$ y el tiempo de $t\in (0,a)$ satisfacer el sistema de ecuaciones

...

inicial $$ u(t,x)\vert_{t=0} =0$$

...

Pero el problema que lo declarado por el Instituto Clay de Matemáticas fue, ver http://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf,

$\textbf{(B) Existence and smoothness of Navier–Stokes solutions in $\mathbb{R}^3/\mathbb{Z}^3$.}$ ... Vamos a $u^0$ ser cualquier liso, de la divergencia-free vector campo satisfacer $u^0(x+e_j) = u^0(x)$; tomamos $f(x, t)$ a ser idéntica a cero. Luego existen las funciones lisas $p(x,t)$, $u_i(x,t)$ en $\mathbb{R}^3 \times[0,\infty)$. que ...

Así que mi pregunta es:

1) ¿Puede el $a>0$ en su prueba de ser $\infty$? O es suficiente para demostrar que el problema arbitrarias $a>0$?

2) ¿hay alguna teoría que puede convertir el problema con la arbitraria valor inicial $u^0$ (por supuesto la satisfacción de alguna condición) en un problema con valor inicial se $0$?

3) El problema de la formulada por el Instituto Clay se supone $f\equiv 0$. Prof Otelbaev demostró su resultado para todos los $f\in L_2(\Omega)$. Este resultado mucho más fuerte?

Actualización: Hay un artículo que indica que el $L_2$ estimación no es suficiente para resolver el problema. (en español)

Answer 1

1. Demostrando $\|\Delta u\|_{L^2(\Omega)} < \infty$ cualquier $a>0$ es suficiente para resolver el Milenio problema. De hecho, $\|(-\Delta)^{3/4} u\|_{L^2(\Omega)} < \infty$ es suficiente. También no hay ningún problema si $C$ $l$ dependen $a$, mientras que son finitos para cada $a$.
2. Establecimiento $\nu = 1$ no es gran cosa - esto es fácil de superar por poner la ecuación en unidades adimensional. (Desde las unidades de longitud fija, puede cambiar la escala de la velocidad y unidades de tiempo, sino que es suficiente grados de libertad para obtener la del número de Reynolds igual a 1.)
3. La suposición $u(x,0) = 0$ - este no estoy seguro acerca de. Yo no consultar inmediatamente a un argumento que se puede deducir que el $u(x,0) \ne 0$, $f \equiv 0$ el caso de la $u(x,0) = 0$, $f \in L_2(\Omega)$ caso. Incluso si tal argumento no está disponible, este papel, si es correcta, todavía parece ser un avance enorme.

Actualización: en Realidad 3 no es también un problema. Ver user121805 la respuesta.

Así que si este documento es correcta, se resuelve la Arcilla del Milenio problema.

Answer 2

Este es un punto muy bueno y tiendo a estar de acuerdo en que el problema a resolver en el Otelbaev del papel es diferente de la declaración del problema de la Arcilla del Instituto.

Permítanme repetir las principales reivindicaciones de la ponencia se refiere a continuación como NS2013.

En primer lugar recordar la afirmación de que el problema de valor de frontera para la ecuación de Navier-Stokes como está formulado en NS2013.

Deje $Q\subset R^3$ ser una región de un espacio 3-dimensional, Vamos a $\Omega=(0,a)\times Q$. A continuación asumimos $Q=(-\pi,\pi)^3$ un cubo con aristas de longitud $2\pi$. Dentro de $\Omega$ las siguientes ecuaciones de espera. $$ \left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial u}{\partial t} + u\cdot\nabla u = \Delta u - \nabla p + f,\\ \nabla \cdot u = 0 \end{array} \right. $$ Las condiciones iniciales están dadas como $u(t,x) |_{t=0} = 0$ $x\in \bar Q$ y las condiciones de frontera son periódicas, es decir, para $k=1,2,3$ $$\begin{array}{l} u(t,x) |_{x_k=-\pi} = u(t,x) |_{x_k=\pi},\\ p(t,x) |_{x_k=-\pi} = p(t,x) |_{x_k=\pi},\\ \left.\frac{\partial u(t,x)}{\partial x_k}\right|_{x_k=-\pi} = \left.\frac{\partial u(t,x)}{\partial x_k}\right|_{x_k=\pi} \end{array} $$ Además $$ \int_Q p(t,x)dx = p_0 > 0 $$

Para $f\in L_2(\Omega)$ llamamos una solución de $(u;p)$ del problema definido anteriormente una solución fuerte de iff de las siguientes funciones en $L_2(\Omega)$.

$$ \frac{\partial u}{\partial t}, \Delta u, u\cdot \nabla u, \mathop{\textrm{grad}} p $$

Y el principal resultado en NS2013 es el Teorema 1 en la página 10.

Para cualquier $f\in L_2(\Omega)$ existe una fuerte solución, de tal manera que $$ \left\|\frac{\partial u}{\partial t}\right\| + \|\Delta u\| + \|u\cdot \nabla u\|+ \mathop{\textrm{grad}} p \leq C (1+ \|f\|+\|f\|^l). $$ Aquí $\|\cdot\|$ $L_2$ norma y las constantes $C>0$ $l\geq 1$ no dependen $f\in L_2$.

Esto se parece a una difícil todavía los resultados no afirman la existencia de una suave solución, es decir,$u\in C^\infty$. La existencia de una solución en $L_2(\Omega)$ solución de la acotada norma, y limitada derivados no implica que la solución es suave e incluso que la solución no contiene discontinuidades.

Yo creo que este es un resultado importante, pero no es una solución del Milenio problema. Posiblemente debido a una mala interpretación de la declaración del Milenio declaración del problema. Sin embargo, mi nivel de confianza en esta conclusión está muy por debajo de 100%.

Actualización: hay un proyecto de la comunidad para traducir el papel iniciado por Misha Wolfson, está disponible en GitHub

Actualización 2: La búsqueda de soluciones de las ecuaciones de Navier-Stokes en $L_2$ sigue el manifiesto expresado por Olga Ladyzhenskaya en su presentación en 2003 a la Sexta problema del milenio [1]. Ella escribe que el problema clave respecto de Navier-Stokes es si las ecuaciones, junto con las condiciones iniciales y de contorno proporcionar una descripción determinista de la dinámica de fluido incompresible. Y para responder esta pregunta, el investigador no debe estar limitada por el infinito o de cualquier otra la diferenciabilidad de las restricciones en la solución.

[1]: O. A. Ladyzhenskaya, "Sexto problema del milenio: ecuaciones de Navier-Stokes, la existencia y la suavidad", Russ. De matemáticas. Surv. 58 251

Answer 3

1) si las estimaciones no saturar a t=a, entonces la solución cam se extiende más allá de ese tiempo. estoy abierto,cerrado argumento, a continuación, da tiempo infinito de la existencia.

2) restar una extensión lisa v de la lisa límite de datos. u-v tiene cero inicial de los datos, y cumple con un sistema similar con el agregado de los términos de orden inferior de tipo lineal, con la corteza lisa de los coeficientes.

3) creo que se refiere a: aplicar la diferencia de método de cociente (ver ex ladyzhenskya, o lieberman libros) para obtener las mismas estimaciones para todo el fin de diferencia de cocientes, por lo tanto para todos los débiles derivados.

penny smith

Answer 4

Este es mi pensamiento en $u(0,x)=0$ (yo soy no hay manera de especialistas en este campo). Tome $u(t,x)=u(x)\times s(t)$, de tal manera que $s(0)=0$ $s(t_0>0)=1$ $u(x)$ es la divergencia libre. Desde $u(t,x)$ es la divergencia gratis podemos sustituir en el impulso eqution. Poner a $p(x,t)=0$ obtenemos $f(x,t)$ con todas las propiedades necesarias. Así, podemos llevar el líquido a cualquier deseable inicial de datos en $t_0$ de esta manera. Poner a $f(t,x)=0$ $t>t_0$ nos vienen a la Millenium problema (que se inicia a partir de $t=t_0$).

Answer 5

Acabo de leer esto y hora. Lo que realmente me molesta es que $u(0,\mathbf x)=0$ (este puede ser corregido en $\mathbb{T}^3=\mathbb{R}^3 / \mathbb{Z}^3$ través $\mathbf{f}(\mathbf{x},t) \in L_2$ ?), y $\nu=1$. No hay ningún parámetro en el $\mathbb{A}$ auto-adjunto operador, de manera que uno puede obtener más ligero estimaciones para la forma cuadrática $\mathbb{B}$. Se puede demostrar que la dimensión del atractor $Y$ de 3D NS crece como $Y \propto \nu^{-9/4}$ y que es malo para tales probar el concepto.