Una urna contiene 10 clases de guijarros, y 100 guijarros de cada clase. Dibujamos 100 piedras (sin sustitución). ¿Cuál es la probabilidad de que obtengamos entre 8 y 12 piedras de cada tipo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
La más probable de las admisible combinaciones es completamente uniforme, con una probabilidad de
$$ \frac{\binom{100}{10}^{10}}{\binom{1000}{100}^{\hphantom{10}}}\approx3.8\cdot10^{-8} $$
(computation). Presumably the most unlikely of the admissible combinations is the most non-uniform one with $12$ pebbles of five kinds and $8$ of the others, with a probability of
$$ \frac{\binom{100}{12}^5\binom{100}8^5}{\binom{1000}{100}}\approx4.5\cdot10^{-9} $$
(computation). The number of admissible combinations can be calculated using the formula at the bottom of this page as the number of ways of distributing $k=20$ excess pebbles over $m=10$ kinds with a capacity of $R=4$ each, which yields
$$ \sum_{t=0}^4(-1)^t\binom{10}t\binom{29-5t}9=856945 $$
(computation). Thus the desired probability $p$ satisfies
$$ 0.03\aprox 856945\cdot\frac{\binom{100}{10}^{10}}{\binom{1000}{100}^{\hphantom{10}}}\gt p\gt 856945\cdot\frac{\binom{100}{12}^5\binom{100}8^5}{\binom{1000}{100}}\approx0.004\;. $$
The exact answer is
226031412377730730814344253428220298277915460779610728832457924491489212422618433457300376001429754322127222112213012269223936000000000
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18724490300969246403723903560710344364006715745998044509175019419801870086437214647777411833371759499800416660391039940703106220925825529
or about $0.012$, calculado por este código, que enumera todos los admisible combinaciones y comprueba el resultado con una simulación (y también comprueba el número de combinaciones admisibles).
