Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org Existe$P(x)\in\mathbb Z[x]$,$n\in\mathbb Z^+$ tal que$y\in\mathbb Z$. Probar $\underbrace{P(P(\ldots P(y)\ldots))}_{n}=y$.

Question

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org Existe$P(x)\in\mathbb Z[x]$,$n\in\mathbb Z^+$ tal que$y\in\mathbb Z$ $

Probar $$\underbrace{P(P(\ldots P(y)\ldots))}_{n}=y$.

Creo que la notación$P(P(y))=y$ también es estándar en alguna parte. Si$P^n(y)=y$, entonces es trivial. No sé la fuente exacta del problema. Podría ser un problema de olimpiadas, pero no estoy seguro.

Answer 1

En vista de los comentarios: la Extracción de la Olimpiada (también se demostró hace algún tiempo por W. Narkiewics y posiblemente antes de...?). Hay varias generalizaciones a otros anillos y ciertos algebraicas número de campos. Que tiende a ser muy complicado. El entero caso es fácil y clara:

Deje $y_0=y$ ser un número entero de plazo, $p$ y no de un punto fijo. Conjunto inductivo $y_{k+1}=P(y_k)$, de modo que $y_p=y_0$. El truco es mirar a las sucesivas diferencias (todos los no-cero):

$$ y_{k+2}-y_{k+1}= P(y_{k+1}) - P(y_k)= R_k (y_{k+1}-y_k) .$$ Por factorización, sólo tiene que utilizar ese $y_{k+1}^n-y_k^n=(y_{k+1}-y_k)(y_{k+1}^{n-1} + \cdots y_k^{n-1})$, podemos ver que $R_k$ debe ser un entero. A continuación, por recursión (y el uso de $y_p=y_0$): $$ y_1-y_0= y_{p+1}-y_p=R_{p-1} ... R_0 (y_1-y_0)$$ muestra que cada una de las $R_k=\pm 1$. Si $R_j=-1$ $y_{j+2}-y_{j+1} = y_j - y_{j+1}$ $y_{j+2}=y_j$ y tenemos un 2-ciclo. Si cada $R_j=1$, entonces cada incremento es el mismo y $0=y_0-y_0=y_p - y_0 = p (y_1-y_0)$. Imposible.

Answer 2

Si

ps

Entonces debería quedar claro que

ps

Y podemos tomar el siguiente límite:

ps

Y si el límite existe, es simple que

ps

Para cualquier $$P^n(y)=y$

Y eso realmente implica

ps

para $$y=P^n(y)=P^{2n}(y)=\dots$