Anomalías quirales a la Fujikawa: ¿Por qué no tomamos otra medida?

Question

Al derivar la quirales anomalía en el que no perturbativa de enfoque para una teoría de fermiones de Dirac sin masa, de empezar por demostrar que la ruta integral de la medida no es invariante bajo la quirales de transformación:

$\psi \rightarrow U(x) \psi = e^{i\alpha(x)\gamma^5}\psi\\\overline{\psi} \rightarrow \overline{\psi} \,\overline{U}(x) = \overline{\psi} \, \gamma^0 e^{-i\alpha(x)\gamma^5}\gamma^0 = \overline{\psi} \, U(x)$

y en la medida que se transforma a medida:

$d\overline{\psi}d\psi \rightarrow \det[U \overline{U}]^{-1}\,d\overline{\psi}d\psi = \det[U]^{-2}\, d\overline{\psi}d\psi $

La de continuar con la evaluación de la determinante para encontrar la anomalía plazo. (Esto se hace así por ejemplo, en Weinberg cap. 22.2)

Pero ahora imaginemos que escribir el massles Lagrangiano de Dirac en su quirales componentes $\psi_L$$\psi_R$:

$\mathcal{L} = \overline{\psi} i \gamma^\mu D_\mu \psi= i \psi_L^\dagger \bar{\sigma}^\mu D_\mu\psi_L + i \psi_R^\dagger {\sigma}^\mu D_\mu\psi_R $

Esta es ahora una de Lagrange de dos independientes de Weyl spinors, uno zurdo uno de la mano derecha. El quirales transformación de una por encima de lee ahora

$\psi_L \rightarrow e^{-\alpha(x)} \psi_L \,\,, \hspace{1cm} \psi_L^\daga \rightarrow e^{\alpha(x)} \psi_L^\daga\\ \psi_R \rightarrow e^{\alpha(x)} \psi_R \,\,, \hspace{1cm} \psi_R^\daga \rightarrow e^{-\alpha(x)} \psi_R^\daga$

Escribimos la medida para la la ruta integral de ahora como $d\psi_L^\dagger d\psi_L d\psi_R^\dagger d\psi_R $ que es lorentz y invariante gauge.

Pero es invariante bajo la quirales transformación! Entonces, ¿qué ha pasado, dónde está nuestro Anomalía ido?

En la reescritura de la medida $d\overline{\psi}d\psi$ como dos medidas de Weyl campo de la $\gamma^0$ dejó, que antes era el responsable de cambiar el signo del exponente de la transformación, una vez más, y el hecho de que la medida no invariantes. Pero yo no veo nada malo en la reescritura de la medida en este camino. Incluso para la masiva caso de que esto debe ser legible procedimiento, o estoy equivocado?

Probablemente alguien me puede dar una lección en la construcción de medidas de Weyl spinors ot me dicen más de lo que está pasando aquí. Saludos!

Answer 1

Weinberg de la presentación no es pedagógicamente ideal, porque los pasos son demasiado formal, y pone énfasis en que pueden inducir a error a un estudiante. La presentación podría llevar a pensar que el determinante de la U son factores que de alguna manera no es igual a 1, ingenuamente, porque de alguna fase del negocio, y esto es categóricamente no es cierto. Esto es lo que resulta confuso para usted--- los dos componentes de la descripción que hace de manifiesto que no hay nada con un no-unidad determinante, y los cuatro componentes de la formulación oculta.

La parte donde Weinberg habla de U que se pseudounitary es la engañosa cosa, pseudounitary o unitaria, la U determinante es igual a 1, y la presentación formal de una función delta de no hacer el determinante menos 1. La cantidad de $e^{i\gamma_5 \alpha(x)}$ cuenta con una unidad determinante debido a que $\gamma_5$ es traceless (como Weinberg dice en el medio del cálculo), de modo que si usted se divide en componentes o no, no cambia nada, la medida es ingenuamente quiralmente invariante.

Con el fin de definir la ruta integral, usted necesita para cortar la medida, y usted simplemente no puede hacerlo en un puro de dos componentes spinor formalismo constantemente, y no cuando el 2-componente de spinor está acoplado a un medidor de campo. El problema es que una invariante gauge de corte se rompe la simetría quiral. Esto significa que usted no puede hacer que un puro de dos componentes invariante gauge cut-off.

Esto sólo sucede cuando usted insiste en un invariante gauge de corte, de lo contrario, usted puede mantener la quirales actual conservadas (para que usted mantenga las dos spinor foralism sensible), sino en el costo de la realización de la ordinaria (calibre) actual no se conserva. Este problema es también la razón de la discretización de la ecuación de Dirac es molesto--- discretización introduce un corte, y la corte debe introducir otros grados de libertad con el fin de ser consistente.

Invariante Gauge cortes

Supongamos que usted tiene un 2-spinor campo que es no junto a un medidor de campo, junto a algunos de los campos escalares. A continuación, puede introducir una masiva 2-spinor campo con el signo contrario cinética plazo mediante el uso de un Majorana masa plazo (en 2-spinor notación):

$$ M(\psi^\alpha\psi^\beta \epsilon_{\alpha\beta} + CC)$$

Donde CC es el hermitian conjugado, con $\bar\psi$ sustitución de $\psi$. Usted puede utilizar el enorme Majorana spinor a hacer un Pauli-villars regulador, restando la masa de bucles a partir de la física de la luz de bucles, dejando convergente integrales (a veces se necesitan varios Pauli-Villars campos). Entonces todo está bien, y el regulador es quiralmente invariante, funciona en 2-spinor idioma.

Lo que va mal cuando la pareja la cosa a un medidor de campo es que una enorme Majorana spinor no puede ser cargada. Si haces el corte utilizando una enorme Pauli-Villars regulador, se rompe la invariancia gauge en la masa plazo. Así que no se pueden cortar de una sola de 2 componentes spinor 2 con un componente cargado spinor, no sin arruinar la invariancia gauge y hacer el acoplamiento para el vector inconsistente.

Así que usted tiene algunas opciones. Uno superficialmente atractiva opción es hacer un entramado regulador, y de mantener las dos-componente spinors. Esto no funciona, porque si realmente hacer un entramado regulador y mantener la acción real, usted necesita para discretizar los derivados del uso de un centrada en la diferencia de la siguiente manera:

$$ \bar\psi \sigma\cdot D \psi $$

Donde D es un operador de desplazamiento hacia adelante menos un operador de desplazamiento hacia atrás, usando el medidor de campo en el enlace para hacer el cambio de covariantly. El resultado produce un propagador con más grados de libertad de un quirales spinor, ya que el entramado regulado D operador tiene un factor determinante que es cero en varios lugares en la zona de Brillouin. Esto se llama el fermión de duplicación del problema, y se hace un entramado regulador de una pesadilla.

Entonces, ¿qué puedes hacer en su lugar es hacer la 2-componente de spinor en cuatro compoent spinor, y cortó el 4-componente de spinor con una enorme mal signo 4-componente de spinor que se cobra, Pauli-Villars estilo. Esto introduce una ficticia patner a la original de 2 componentes spinor, para hacer un total de 4 componente spinor, de acoplamiento y toda la cosa para el medidor de campo, usted sólo tiene una constante de truncamiento de dos componentes, sólo cuando el quirales actual se conserva en el fondo de la galga de configuración en el campo.

Pero ahora el uso de este invariante gauge de corte, se puede calcular la divergencia de la corriente circulante, y ver que no es cero:

$$ \partial_\mu \bar\psi \gamma_5 \gamma_\mu \psi = {1\over 16\pi^2} F_{\mu\nu}F_{\lambda\sigma}\epsilon^{\mu\nu\lambda\sigma}$$

Este cálculo se realiza posteriormente en Weinberg

Fujikawa regulador

Pero le estaban pidiendo específicamente acerca de la Fujikawa,y cuando usted está utilizando Fujikawa del regulador, se aprovecha de los antecedentes medidor de campo para definir un nuevo conjunto de Grassman de integración de las variables de la siguiente manera:

$$ \prod d\bar{C}_k dC_k$$

Donde el $C_k$'s son una combinación lineal de las $\psi$'s el uso de la k-ésima eigenfunction de la distancia Euclídea operador de Dirac. El punto es que se puede hacer un invariante gauge regulador mediante la introducción de un factor de

$$e^{-k^2\over M^2}$$

en cualquier integral sobre k, y este factor se corta la distancia corta modos en un manifiestamente invariante gauge manera, ya que es de corte más altas de k modos, donde k es el invariante gauge operador de Dirac autovalor. Tenga en cuenta que el punto de corte es ligeramente diferente para cada elección diferente de fondo de Un campo, esta es la forma en la quirales actual divergencia termina proporcional a algo que implican la F tensor.

Este punto de corte es manifiestamente invariante gauge, y manifiestamente regula todos los Fermión integración, ya que efectivamente se corta los autovalores de la $D$-slash operador en algún valor eficaz M. por Lo que hay sólo un número finito de fermionic variables contribuyendo eficazmente a los estados intermedios de la ruta de la integración.

Luego Weinberg es evaluar el líder de la orden de corrección en gran M para la medida de la transformación de usar este invariante de corte. Esta es la razón por la D-slash operador aparece en el punto de corte que utiliza, y él explica este oblicuamente. Así que cuando usted transformar la medida quiralmente, utilizando el punto de corte, se obtiene el factor de Weinberg da:

$$ i\alpha(x)\gamma_5 e^{-(D\cdot\gamma)^2/M^2}\delta(x-y) $$

Este Fujikawa regulador cambia la frecuencia de corte a medida que cambie el campo, por lo que siempre está en un determinado M tamaño de un autovalor de a $D\cdot\gamma$, y esto es lo que permite calcular la anomalía cuando usted toma el punto de corte hasta el infinito. Si usted desea hacer esto en 2-spinor formalismo, es necesario tener tanto 2-spinors que en conjunto hacen de la carga Fermión, por lo que la frecuencia de corte, ya sea en Pauli-Villars idioma o en Fujikawa lenguaje, termina siendo invariante gauge.